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与球有关的切、接问题
知识点总结
研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特
别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球
心.
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
PA
（3）正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示．
2
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1图2图3图4
知识点二：正四面体外接球
2
如图，设正四面体ABCD的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为a，显然正四面体
a
2
2366
和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=a×=a，即正四面体外接球半径为R=a.
2244
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体ABCD中，AB=CD=m，AC=BD=n，AD=BC=t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题.
ì222
b+c=m
222
ï222222m+n+t
如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a+c=n，三式相加可得a+b+c=,
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2
ï2
道路桥梁工程师持证人
职业建造师，造价工程师、安全工程师、工程概预算精通，从事相关工作10余年，实际与理论结合。
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