《电磁场与电磁波》课件_第1章 矢量分析与场论基础.pptxVIP

1.1标量场和矢量场

1.2矢量运算

1.3常用正交坐标系

1.4标量场的梯度

1.5矢量场的通量与散度

1.6矢量场的环量与旋度

1.7拉普拉斯算符及其运算

1.8亥姆霍兹定理;1.1标量场和矢量场;1.1.1标量和矢量

电磁场中涉及的绝大多数物理量能够容易地区分为标量或矢量。一个只有大小而没有方向的物理量称为标量；既有大小又有方向的物理量称为矢量。

标量可以用数字准确描述，而矢量则用黑斜体或带箭头的符号来表示。模值为1的矢量称为单位矢量，常用来表示某矢量的方向。如矢量Ａ可写成A=ａＡＡ，其中ａＡ是与Ａ同方向的单位矢量，Ａ为矢量Ａ的模值。

如果给定的矢量在３个相互垂直的坐标轴上的分量都已知，那么这个矢量即可确定。

在直角坐标系中，如矢量Ａ的坐标分量为（Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ），则Ａ可表示为

其中，ｅｘ、ｅｙ、ｅｚ分别表示直角坐标系中ｘ、ｙ、ｚ方向上的单位矢量。通过矢量的加减可得

到它们的和差。设

则;1.1.２标量场和矢量场

场有空间占据的概念。设有一个确定的空间区域，若该区域内的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，则认为该空间区域确定了这个物理量的一个场。

物理量是标量的场称为标量场，物理量是矢量的场称为矢量场。

如果场中的物理量不随时间而变化，只是空间和点的函数，那么称该场为稳定场（或静态场）；如果场中的物理量是空间位置和时间的函数，那么称之为不稳定场（或时变场）。

由数学中函数的定义可知，给定了一个标量场就相当于给定了一个数性函数ｕ（Ｍ），而给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数Ａ（Ｍ），其中Ｍ为场对应空间区域中的任意点。在直角坐标系中，点Ｍ由它的ｘ、ｙ、ｚ坐标确定，因此一个标量场可用数性函数表示为

而矢量场则可用矢性函数表示为;在标量场中，为了直观研究其分布情况，引入了等值面（或等量面）的概念。等值面是指场中使函数取值相同的点组成的曲面。标量场的等值面方程为

如温度场中的等值面就是由温度相同的点所组成的等温面；电位场中的等值面就是由电位相同的点所组成的等位面，如图1.1.1所示。等值面在二维平面上就是等值线???如常见的等高线、等温线等。

在矢量场中，可以用矢量线来描绘矢量场的分布情况。如图1.1.２所示，在矢量场的每一点Ｍ处的切线方向与对应于该点的矢量方向相重合。在流体力学中，矢量线就是流线。在电磁场中，矢量线就是电力线和磁力线。;１．２矢量运算;１．２．１标量积和矢量积

矢量的乘积有两种定义：标量积（点积）和矢量积（叉积）。

１．标量积

如图１．２．１所示，有两个矢量Ａ与Ｂ，它们之间的夹角为θ（０≤θ≤π）。两个矢量Ａ与Ｂ的点积记为Ａ·Ｂ，它是一个标量，定义为矢量Ａ与矢量Ｂ的大小和它们之间夹角的余弦之积，即Ａ·Ｂ＝ＡＢｃｏｓθ。

在直角坐标系中，各单位坐标矢量的点积满足如下关系：

矢量Ａ与矢量Ｂ的点积可表示为

矢量点积满足交换律和分配律：

;２．矢量积

两个矢量的叉积记为Ａ×Ｂ，它是一个矢量，垂直于包含矢量Ａ和矢量Ｂ的平面，方向满足右手螺旋法法则，即当右手四指从矢量Ａ到Ｂ旋转θ角时大拇指所指的方向，其大小为ＡＢｓｉｎθ，即

在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系：

矢量Ａ与矢量Ｂ的叉积可表示为;叉积不满足交换律，但满足分配律：

１．２．２三重积

矢量Ａ与矢量（Ｂ×Ｃ）的点积称为标量三重积。标量三重积满足：

Ａ×Ｂ的模表示由Ａ与Ｂ为相邻边所形成的平行四边形的面积，因此Ｃ·（Ａ×Ｂ）的模是平行六面体的体积。矢量Ａ与矢量（Ｂ×Ｃ）的叉积称为矢量三重积。矢量三重积满足：

;1.3常用正交坐标系;1.3.1三种常用坐标系

在电磁场理论中,最常用的三种坐标系是直角坐标系?圆柱坐标系和球坐标系?

1.直角坐标系

直角坐标系是最常用和最被人们熟知的坐标系,这里只做简单介绍?直角坐标系由x轴?y轴和z轴及其交点O(称为坐标原点)组成,3个坐标变量的变化范围均为负无穷到正无穷,如图1.3.1所示?

在直角坐标系中,以坐标原点为起点,指向点M(x,y,z)的矢量称为点M的位置矢量,可表示为

R=xex+yey+zez (1.3.1)

;位置矢量的微分元可表示为

dR=exdx+eydy+ezdz (1.3.2)

与单位坐标矢量相垂直的3个面积元分别为

dSx=exdydz(1.3.3a)

dSy=eydxdz(1.3.3b)

dSz=ezdxdy(1.3.3c)

体积元可表示为

dV=dxdydz(1.3.4)

2.圆柱坐标系

圆柱坐标系的3个坐标变量是ρ??和z,它们的变化范围分别是0≤ρ∞,0≤?≤2π,-∞z∞?

如图1.3.2所示