高二数学讲义（人教A版2019）12空间向量基本定理（四大题型）.docx

1．2空间向量基本定理

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳目录】 2

【思维导图】 2

【知识点梳理】 2

【典型例题】 3

题型一：基底的判断 3

题型二：基底的运用 6

题型三：正交分解 10

题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 13

【题型归纳目录】

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立

【典型例题】

题型一：基底的判断

【典例11】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；

对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确；

对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；

对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误；

故选：B

【典例12】（2024·高三·江苏南通·开学考试）若和都为基底，则不可以为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若不是一组基底，则可设，

对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；

对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；

对于C，若，则，解得：，

不是一组基底，C正确；

对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.

故选：C.

【方法技巧与总结】

空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底．

【变式11】（2024·高二·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（????）．

A． B．0 C．5 D．

【答案】C

【解析】因为不能构成空间的一个基底，

所以共面，

故存在使得，

即，

故，解得.

故选：C

【变式12】（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】对于A,假设共面,则可设

方程组无解,不共面,可以作为空间一组基底,A正确;

对于B,共面,不能作为空间一组基底,B错误;

对于共面,不能作为空间一组基底,C错误;

对于共面,不能作为空间一组基底,D错误.

故选：A

【变式13】（2024·高二·全国·课后作业）设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底；

B选项，，故三个向量共面，不能作为基底；

C选项，设，

向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意；

D选项，，故三个向量共面，不能作为基底；

故选：C.

【变式14】（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；

B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；

C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；

D选项，因为，，

设，

即，

，无解，

故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.

故选：A

题型二：基底的运用

【典例21】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

.

故选：B.

【典例22】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】延长交于点，则点为的中点，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

因为，，