微积分（第3版）课件：导数的概念.pptx

问题1平面曲线的切线及切线的斜率

导数的概念

导数与微分

设平面曲线Γ的方程为

Γ上一定点,

过点M,N的直线称为曲线的割线.

上一动点,

为曲线

为曲线

其中

曲线Γ在点M处的切线.

割线MN的斜率为

如果当动点N沿曲线Γ无限趋近于定点M时,

割线MN无限的接近于某定直线MT,

直线MT就称为

切线MT的斜率为

问题2边际问题

时成本的平均变化率，

时的平均边际成本.

如果极限

存在，

的边际成本.

如果极限

存在,

即

定义3.1(导数的概念)

记为

或

导数也可写成

也称导数不存在.

注:

是无穷大,

关于导数的说明：

记为

定理3.1(可导与连续的关系)

证

所以

注意:该定理的逆定理不成立.

处切线方程为

法线方程为

导数的几何意义:

处的切线方程为

处的切线斜率.

例3.1求抛物线

解

所求切线斜率为

所求切线方程为

法线方程为

和法线方程.

处的切线方程

解

练习求处的导数.

解

即

例3.2设函数

解

即

同理

解

例如,

例3.3求函数

即

的导数.

练习求函数的导数.

解

即

特别地,

例3.4求函数的导数.

解

即

练习求函数的导数.

解

即

例3.5求曲线

解

所求切线斜率为

所求切线方程为

法线方程为

和法线方程.

处的切线方程

解

在经济学中，通常把导数称为边际或边际函数.

★

2.右导数

单侧导数

1.左导数

★

例3.7讨论函数处的可导性.

解

因

解

练习设

求

解

练习设

处的可导性

处是否有切线?

解

练习讨论函数

不存在,

处的连续性与可导数性.

练习设函数

解

由