高中数学人教A版必修第二册：直线与平面垂直教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一年级

学期

春季

课题

直线与平面垂直

教学目标

1.理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面所成角的概念；2.探索并了解直线与平面垂直的判定定理，能利用判定定理证明直线与平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成角；

3在探索直线与平面垂直的判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学“以简驭繁”的转化思想

教学重难点

教学重点：

直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究。

教学难点：

操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

教学过程

（1）探究、建构直线与平面垂直的定义

问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图1中旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．那么什么叫做直线与平面垂直呢？能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直（图2）？

师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面垂直的实例，提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示．

追问1：如图3，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？

追问2：旗杆所在直线AB与是否与平面内所有直线垂直（图4）？由此，你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？

师生活动：教师提出问题（可以借助信息技术呈现旗杆影子随时间变化的位置变化），学生容易得出旗杆所在直线与其影子所在直线保持垂直，这也就说明旗杆所在直线和地面所在平面内的无数条直线垂直．对于直线AB与地面上所有直线都垂直，需要将其中的“所有直线”转化为“任意直线”，教师可以引导学生结合头脑中已有的“任意一个数”“任意一个人”等来理解其中“任意”与“所有”的关系．由于对于地面上的任意一条直线，总能找到旗杆的一个影子与之平行，从而其与旗杆所在直线垂直．这样，就可以归纳出直线与平面垂直的定义．

追问3：直线与平面垂直的定义中，“任意”能改为“无数”吗？也就是说，如果直线与平面内无数条直线垂直，能说直线与平面垂直吗？

师生活动：教师提出问题，引导学生举出反例（图5）．

设计意图：开门见山引入如何用数学语言刻画生活中的直线与平面垂直的问题，既激发学生的学习兴趣，又引导学生通过观察、对比与思考，把直观、模糊的感知抽象化、确切化．接下来“顺势紧逼”，引导学生抽象概括出直线与平面垂直的定义．再通过正反两方面情况的辨析，让学生直观感知直线与平面垂直时，“任意”不能改为“无数”，即便直线与平面内无数条直线垂直，但只要平面内存在一条直线与之不垂直，就不能说直线与平面垂直，从而加深对直线与平面垂直的定义的理解．

问题2：在得到直线与平面垂直的定义后，为了表述与研究的方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立?

师生活动：教师引导学生，结合直线和直线垂直的相关概念，给出垂线、垂面、垂足等概念，给出直线与平面垂直的图形表示（如图6）．

设计意图：建立平面的垂线、直线的垂面、垂足等相关概念，知道直线与平面垂直的符号表示，同时让学生理解学习数学概念的“基本思路”．

问题3：我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？

师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而给出垂线段、点到平面的距离的概念．顺势介绍在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离．

设计意图：类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质．既呼应前面棱锥的高的概念，也为后面“平面与平面垂直的性质”定理后的“探究”做必要的铺垫．

（2）探究、发现直线与平面垂直的判定定理

问题4：根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法？

师生活动：教师提出问题，并引导学生进行如下的探究活动：如图7，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．并请学生思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么？

进而获得猜想：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂