高中数学人教A版选择性必修第一册：2.3.1两条直线的交点坐标 教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

2.3.1两条直线的交点坐标

教学目标

1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，发展数学运算能力。

2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系，发展直观想象能力。

教学重难点

教学重点：

1.用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

教学难点：

1.根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。

教学过程

温故知新

在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标.

我们先来回顾直线的方程，有几种表达式呢？

答：有点斜式，斜截式，两点式，截距式和一般式.

导入新课：

用代数表示几何元素

几何元素

代数表示

点

直线

点在直线上

Am＋Bn＋C＝0

【问题1】

点与直线的位置关系有哪些？

给出图片

答：点可以在直线上，如点A，也可以在直线外，如点B.

【问题2】

如果两直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0与l2:A2x＋B2y＋C2＝0相交于一点P，若点P的坐标为（m,n）则点P的坐标与这两条直线的方程有何关系?

答：P点坐标同时满足两条直线的方程.

【问题3】

两条相交直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0与l2:A2x＋B2y＋C2＝0的交点P坐标如何求？

（思考：P为交点，P既在l1上，又在l2上，P点坐标同时满足两个方程）

答：交点P坐标是两直线方程联立，所得方程组的解.

（一）求两条相交直线的交点坐标

【例1】

求下列两条直线的交点坐标，并画出图形

l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0

解方程组，可得x=-2,y=2,得到交点坐标为（-2，2）

画出图象，M点（-2，2）即为两直线交点.

【练习1】

求直线2x+3y?3=12和直线x?2y=4的交点

补充：解题流程

联立（2）求解（3）得坐标

答：解得交点为（6，1）

（二）判定两条直线的位置关系

【例2】

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标：

（1）l1：x－y=0l2：3x+3y??10=0

将两直线方程联立，解方程组，可得

答：直线l1与l2相交，即为交点坐标

另一方面，两直线斜率k1不等于k2，所以直线l1和l2相交

（2）l1：3x?y+4=0l2:6x?2y?1=0

联立解方程组，无解，所以直线l1与l2无公共点，直线l1//l2

另一方面，因为两直线斜率k1=k2=3,截距b1不等于b2，

答：l1//l2

（3）l1：3x+4y－5=0l2:6x+8y?10=0

化简得：

l1与l2可化为同一个方程，所以直线l1与l2的方程表示同一条直线

答：直线l1与l2重合

思考：还有其他方法表示两直线的位置关系吗？

我们这里用解方程组判断和通过斜率判断这两种方法，都是通过代数方法研究两条直线的位置关系。

用斜率容易判断两条直线平行或相交(或垂直)，但无法直接得出相交时两条直线的交点坐标。

还可以通过画出图象来判断。

用解方程组来判断两直线的位置关系

联立方程，解方程组。

若有一组解，那么有唯一公共点，两直线相交。

若有无数组解，那么有无数公共点，两直线重合。

若无解，那么无公共点，两直线平行。

用求斜率来判断两直线的位置关系

将直线方程化为斜截式，y=kx+b

比较斜率

当k1=k2时，若b1=b2，两直线重合，若b1≠b2，两直线平行。

当k1≠k2时，两直线相交

【练习2】

判定直线l1:2x?3y=7与直线l2:4x+2y=1的位置关系，若相交，则求交点的坐标.

（可作为课后作业）

拓展：直线系方程

一般地，我们说，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫作直线系方程。直线系方程中除含变量x,y以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数。由于参数的属性及取法不同，故可得到不同的直线系。

根据直线系的属性，常见的直线系有：

共点直线系方程平行直线系方程垂直直线系方程

思考：当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0

表示什么图形？图形有何特点？

画出图象

λ=0时,方程为3x+4y-2=0

λ=1时,方程为5x+5y=0

λ=-1时,方程为x+3y-4=0

......

我们将上式整(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0

几何意义:

此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线集合(即直线束).

（1）共点直线系方程：

经过直线