【优化设计】备战2025年新高考---高考数学二轮复习讲义(三)中低档大题规范练1含答案.docx

【优化设计】备战2025年新高考---高考数学二轮复习讲义(三)中低档大题规范练(三)中低档大题规范练

规范练1(分值:43分)

学生用书P225

1.(13分)(2024·安徽淮北二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2A

(1)试判断△ABC的形状;

(2)若c=1,求△ABC周长的最大值.

解(1)由c-b=2csin2A2,可得sin2A

所以1-cosA2

所以cosA=b

又由余弦定理得b2+c2-a22bc=bc,可得a2+b2

(2)由(1)知,△ABC是直角三角形,且c=1,可得a=sinA,b=cosA,所以△ABC周长为1+sinA+cosA=1+2sinA+π4,

因为A∈0,π2,可得A+π4∈π4,

故当A=π4时,即△ABC为等腰直角三角形,△ABC的周长取到最大值,最大值为2+1

2.(15分)(2024·山东潍坊一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)中,A,C分别是椭圆

(1)求E的方程和离心率;

(2)过点(1,0),斜率存在且不为零的直线交椭圆于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3,求实数k的值.

解(1)由题意可得A(-a,0),C(0,b),可得|AC|=a2+b2=

所以c=3,所以a2-b2=c2=3,a2+b2=5,

解得a2=4,b2=1,所以离心率e=ca

故椭圆E的方程为x24+y2=1,离心率

(2)由(1)可得C(0,1),由题意设直线RS的方程为x=my+1(m≠0),则k=1m,设R(x1,y1),S(x2,y2)(x1x2≠0),联立

整理得(4+m2)y2+2my-3=0,

显然Δ0,且y1+y2=-2m4+m2,y1y

直线CR,CS的斜率k1=y1-1x1,

则k1+k2=y

=(

=2

=2

=2

因为k1+k2=-3,即-3=2m-1,解得

所以直线RS的斜率k=1m=3,即实数k的值为3

3.(15分)(2024·山东青岛三模)如图所示,多面体ABCDEF,底面ABCD是正方形,点O为底面的中心,M为EF的中点,侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形,EF=4,多面体ABCDEF其余棱长均为2.

(1)证明:MO⊥平面ABCD;

(2)若点P在棱CE上,直线BP与平面ABM所成角的正弦值为24221,求EP

(1)证明取AB,CD的中点K,Q,连接FK,KQ,QE,则O为KQ的中点.

因为侧面ADEF是等腰梯形,所以EF∥AD.

又KQ∥AD,所以KQ∥EF.

因为多面体ABCDEF的棱长除棱EF外均相等,

所以△ABF和△DCE都是边长为2的等边三角形,得FK=EQ,所以四边形FKQE为等腰梯形.

因为M为EF的中点,O为KQ的中点,

所以MO⊥KQ.

因为△ABF是等边三角形,所以AB⊥FK.

又AB⊥KQ,KQ,FK?平面FKQE,KQ∩FK=K,所以AB⊥平面FKQE,

因为AB?平面ABCD,

所以平面FKQE⊥平面ABCD,

平面FKQE∩平面ABCD=KQ,MO?平面FKQE,MO⊥KQ,

故MO⊥平面ABCD.

(2)解在梯形FKQE中,EF=4,KQ=2,FK=EQ=3,在等腰梯形中,由勾股定理得MO=2,取BC的中点N,由(1)知,OK,ON,OM两两垂直.

以O为原点,分别以OK,ON,OM所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),M(0,0,2),K(1,0,0),C(-1,1,0),A(1,-1,0),B(1,1,0),E(-2,0,2).

设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),AB=(0,2,0),AM=(-1,1,2),

则n·AB=2y=0,n·AM=-x+y+2

设CP=λCE(0≤λ≤1),BP=BC+CP=BC+λCE=(-2

设直线BP与平面ABM所成角为θ,

所以sinθ=|cosn,BP|=|

解得λ=12(负值舍去

所以P为棱CE的中点,

所以EP的长为1

规范练2(分值:43分)

学生用书P227

1.(13分)(2024·江苏扬州模拟)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,且2Sn=an(an+1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)证明:1S1+1S2+

(1)解因为2Sn=an(an+1),①

所以2Sn+1=an+1(an+1+1),②

2S1=a1(a1+1),③

由③得a1(a1-1)=0.

又因为{an}各项均为正数,所以a1=1,

②-①得2an+1=(an+12?an2)+

整理得(an+1+an)(an+1-an-1)=0.

又因为{an}各项均为正数,所以an+1-an=1,

所以{an}是公差为1的等差数列,an=a1+(