微积分（第3版）课件：二重积分.pptx

二重积分7.7.1二重积分的概念柱体体积=底面积×高平顶柱体引例求曲顶柱体的体积

曲顶柱体体积=?D曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).

x0zyDSS:z=f(x,y)1.任意分割区域D,化整为零2.以平代曲??i

x0zyDS:z=f(x,y)3.积零为整2.以平代曲1.任意分割区域D,化整为零??i

x0zyDS:z=f(x,y)4.取极限??i2.以平代曲1.任意分割区域D,化整为零V=3.积零为整

x0zyS:z=f(x,y)4.取极限V2.以平代曲V=1.任意分割区域D,化整为零3.积零为整

也表示它的面积,定义7.5(1)将闭区域D任意分成n个小闭区域(2)作乘积(3)并作和D设是有界闭区域D的有界函数,

积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于的极限存在,记为即(4)极限为函数在闭区域D上的二重积分,

曲顶柱体体积曲顶即在底D上的二重积分,二重积分的几何意义当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值．

2.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为D

7.7.2直角坐标系下二重积分的计算二重积分的计算方法是:将二重积分化为二次1.矩形区域上的二重积分积分区域D为矩形在D上连续.设积分(累次积分)来计算.

的值等于以区域D为底,曲面z=f(x,y)把柱体切割成平行于xOz平面的薄片,对应薄片又有于是为顶的曲顶柱体的体积,现用定积分计算这个体积.

2.横向区域:这样的区域上通常可以先对x积分,再对y积分则

例2计算其中D是由直线先对x积分所围平面闭区域.解

3.纵向区域这样的区域上通常可以先对y积分,再对x积分则

例3计算其中D如图所示.解先对y积分

D2D14.复杂区域对于一般的平面区域,可以用平行于坐标轴的例4计算其中D如图所示.解积分区域D可以划分成直线将其分成若干个横向区域或纵向区域,然后利用二重积分对积分区域的可加性进行计算.

于是D1D2

例5交换积分次序:解积分区域:原式=

解先交换积分次序例6计算二次积分

而且又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,凡遇如下形式积分:等,一定要放在后面积分.

7.7.3极坐标系下二重积分的计算二重积分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素

直角坐标与极坐标的关系为2.积分区域D是由圆弧、或圆弧与直线所围成.常用极坐标计算因此在极坐标下1.若被积函数形如

解例7写出积分的极坐标二次积分形式,其中积分区域在极坐标系下,圆的方程为直线的方程为

解a例8计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下注