微积分（第3版）课件：柯西中值定理与泰勒公式.pptx

定理4.11(柯西中值定理)

使得

柯西中值定理与泰勒公式

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导,且

4.5.1柯西中值定理

若函数f(x)及F(x)满足:

证

令

整理,得

作辅助函数

即

使得

即

则

例4.34

证

由

不妨设

故有

于是

证毕

练习设函数

证结论可变形为

使得

即

存在一点

4.5.2泰勒公式

在实际问题中,往往希望用一些简单的函数来

而多项式函数就是最简单的一类初等函数.

首先考虑函数在一点附近的多项式近似.

则有

令

则式(4-1)可简写为

近似代替复杂的函数.

式(4-2)可理解为:

即

其中

此时,

用定义求导数，得

于是有

定理4.12

其中

证

只需证

令

则

连续使用(n-1)次洛必达法则,有

(4-4)式可写成

(4-4)式称为带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式,

其中

定理4.13(泰勒中值定理)

那么

使得

其中

称为拉格朗日型余项.

证利用柯西中值定理证明

令

且

因此

如果公式(4-5)变成

其中

(4-7)式称为f(x)的n阶麦克劳林多项式,(4-8)式称为

则

f(x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.

而

误差估计式为

称为f(x)的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.

麦克劳林公式的用法:

解因

代入公式,得

例4.35求的n阶麦克劳林公式.

于是

注意到

估计误差

其误差

取

解因

例4.36求的2n阶麦克劳林公式.

于是,由麦克劳林公式得到

解

练习将

的多项式.

而

常用函数的麦克劳林公式

解因

例4.37利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求

解因

练习计算

例4.38证明不等式

证

其中

故

例4.39近似计算的值，并估计误差.

证

得到

于是