考研真题 南开大学高等代数历年考研真题汇编.docx

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2004年南开大学高等代数考研真题

2005年南开大学高等代数考研真题

2006年南开大学高等代数考研真题

2007年南开大学高等代数考研真题

2008年南开大学802高等代数考研真题

2009年南开大学802高等代数考研真题

2010年南开大学802高等代数考研真题

2011年南开大学802高等代数考研真题

2012年南开大学804高等代数考研真题

2014年南开大学高等代数考研真题（回忆版）

内容简介

考研真题是每个考生复习备考必不可少的资料，通过研究历年真题能洞悉考试出题难度和题型，了解常考章节与重要考点，有效指明复习方向。

为了帮助参加南开大学“高等代数”考试科目的考生复习备考，精心编写了配套辅导用书（手机端及电脑端均可同步使用）：

1．南开大学高等代数历年考研真题汇编

2．南开大学高等代数考研全套资料

本书收录了南开大学“高等代数”2004～2012、2014年的考研真题，其中2014年试题为回忆版，仅供参考。所有试题均没有提供答案。

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2014年南开大学高等代数考研真题（回忆版）

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2007年南开大学高等代数考研真题

2008年南开大学802高等代数考研真题

一、计算题（每题12分，共60分，请写出必要的计算步骤）

1设n阶实矩阵A＝（aij）n×n满足条件

（1）aij＞0，i＝1，2，…，n；

（2）aij＜0，i≠j；

（3），k＝1，2，···，n。

试求A的秩r（A）。

2设A＝（aij）n×n为数域P上的n阶方阵，定义Pn×n上的线性变换T使T（X）＝AX，X∈Pn×n，试求T的迹和行列式。

3设P为数域，c0，c1，…，cn－1∈P，令

试求A的最小多项式。

4设V为数域P上的3维线性空间，已知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为

试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为

5设n阶实矩阵P满足P1＝P2，试求出P的所有可能的特征值。

二、（20分）设A1，A2，…，Am为n阶方阵，且r（A1A2…Am）＝r（Am）。证明：对任何1≤j，k≤m，齐次线性方程组AjAj＋1…AmX＝0与AkAk＋1…AmX＝0同解。

三、（20分）设S，T都是半正定实对称n阶方阵，证明：det（S＋T）≥（detS＋detT）/2。

四、（15分）设A，A－In都是n阶实对称正定矩阵，证明：In－A－1也是正定矩阵。

五、（15分）设f（x，y）为线性空间V上的非退化双线性函数，证明：对于任何g∈V*，存在唯一的α∈V，使得g（β）＝f（α，β），?β∈V。

六、（10分）设T为欧几里得空间V上的线性变换，满足条件

?x，y∈V，（Tx，y）＝－（x，Ty）或（Tx，y）＝（x，Ty）至少有一个成立。

证明：T或为对称变换或为反对称变换。

七、（10分）设A，B为n阶复方阵，C＝AB－BA，证明：如果C与A可交换，则C为幂零矩阵。

2009年南开大学802高等代数考研真题

2010年南开大学802高等代数考研真题

2011年南开大学802高等代数考研真题

一、（20分）设A为秩为1的n阶复方阵，A的迹tr（A）＝a≠0，试求出A的所有特征值（写出重数）。

二、（20分）设V为4维实线性空间，ε1，ε2，ε3，ε4为一组基，已知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为

（1）试求出T的特征值与特征向量；

（2）试分别求出T的核kerT与象imT的一组基与维数。

三、（20分）设实矩阵

A＝

试将A写成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵T的乘积。

四、（20分）设A为实反对称矩阵，证明：E－A10一定是正定矩阵。

五、（15分）设V为一个欧氏空间，T为V到V的一个映射，满足条件：|Tα|＝|α|，?α∈V，试问T是否一定是V上的正交变换？说明理由。

六、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，满足方程aA2＋bAB＋cB