高考数学一轮复习讲义第10章10.8概率与统计的综合问题.pdfVIP

概率与统计的综合问题

题型一频率分布直方图与分布列的综合问题

例12022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光

辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的

成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，统计结果

如图所示．

(1)试估计这100名学生得分的平均数；

(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座

谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90,100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和均值；

(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服

2222

从正态分布N(μ，σ)，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本方差s，经计算s＝42.25.现

从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分

高于77分的人数最有可能是多少？

2

参考数据：若随机变量X～N(μ，σ)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋

2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

解(1)估计这100名学生得分的平均数为10×(45×0.010＋55×0.015＋65×0.020＋

75×0.030＋85×0.015＋95×0.010)＝70.5.

(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座

0.010

谈，其中得分在[90,100]的人数为×11＝2.

0.015＋0.030＋0.010

若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90,100]的人数为ξ，则ξ的所有可能取值为

0,1,2.

3

C928

P(ξ＝0)＝＝，

355

C11

21

92

CC24

P(ξ＝1)＝＝，

355

C11

12

92

CC3

P(ξ＝2)＝＝，

355

C11

则ξ的分布列为

ξ012

28243

P

555555

282436

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

55555511

22

(3)由题意知，μ＝70.5，σ＝s＝42.25，σ＝6.5.

－－≤≤＋

1PμσXμσ

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