2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）44数学归纳法（七大题型）.docx

4．4数学归纳法

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳】 2

题型一：对数学归纳法的理解 2

题型二：数学归纳法中的增项问题 3

题型三：证明恒等式 4

题型四：证明不等式 6

题型五：归纳—猜想—证明 9

题型六：用数学归纳法证明整除性问题 10

题型七：用数学归纳法证明几何问题 11

【重难点集训】 13

【高考真题】 22

【题型归纳】

题型一：对数学归纳法的理解

2．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

（1）当时，左边，右边，不等式成立.

（2）假设当（且）时，不等式成立，即，

那么当时，，

所以当时，不等式成立，则上述证法（????）

A．过程全部正确 B．验证不正确

C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确

【答案】D

【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.

故选：D.

4．（2024·高二·全国·课后作业）已知命题及其证明：

（1）当时，左边，右边，所以等式成立．

（2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．

由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（????）

A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确

C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确

【答案】B

【解析】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论．

由等比数列求和公式知,命题正确.

故选：B．

9．（2024·高二·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，，

即从起连续项正整数之和.

则为从起连续3个正整数之和，

故第一步应证明.

故选：B.

10．（2024·高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（????）

A．1 B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为，

当时，左边，故C正确.

故选：C.

题型二：数学归纳法中的增项问题

18．（2024·高二·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（????）

A．1项 B．项 C．项 D．项

【答案】D

【解析】因为，

所以，共项，

则共项，

所以比共增加了项，

故选：D

19．（2024·高二·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据数学归纳法可知：

当时，

当时，

相比从到，可知多增加的项为

故选：D

20．（2024·高二·浙江嘉兴·期中）用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据数学归纳法的推导可得，当时，当时.

左边增加的代数式是.

故选：A

题型三：证明恒等式

25．（2024·高二·全国·随堂练习）求凸n边形的对角线的条数．

【解析】因为三角形没有对角线，即；四边形有2条对角线，即；五边形有5条对角线，即；

猜想，下面利用数学归纳法证明：

（1）当时，，命题成立；

（2）假设当时命题成立，即凸k边形的对角线的条数；

当时，边形时在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，

则增加的对角线是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，增加的对角线条数为，

所以，

可知：当时，命题成立，所以猜想正确；

综上所述：凸n边形的对角线的条数.

22．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由．

【解析】存在．将，分别代入等式，得，

即，所以或.

猜测对一切正整数都成立．

证明：（1）当时，显然成立；

（2）假设时，成立；

则当时，

左边

右边，所以时，等式也成立．

综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立．

30．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：

(1)；

(2)．

【解析】（1）证明：记，

当时，则有，等式成立，

假设当，等式成立，即，

则，

这说明当时，等式成立，

故对任意的，.

（2）证明：设，

当时，，等式成立，

假设当时，等式成立，

即，

所以，

，

这说明当时，等式成立，

所以，对任意的，.

31．（2024·高二·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）．

【解析】设．

①当时，左边，右边，等式成立；

②设当时等式成立，即，

则当时，

．

由①②可知当时等式都成立．

题型四：证明不等式

38．数列满足且

(1)用数学归纳法证明：；

(2)已知不等式对成立，证明：，其中无理数….

【解析】（1）证明：将代入可得，

①当时，，满足，

②假设当时满足，

③当时，有

成立，

故得证；

（2）