重难点14 几何压轴突破二 圆压轴（10种题型汇总 专题训练）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（解析版）.docx

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第六章圆

重难点14几何压轴突破二圆压轴

（10种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

题型01圆的有关证明与计算

1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交O于点D，E是BC上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．

(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；

(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；

(3)若CI=22，DI=132

【答案】(1)115°

(2)DI=AD=BD，证明见解析

(3)30

【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据三角形的内角和定理求∠CAB=65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；

（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI=∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；

（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ=AF，CF=CP，BQ=BP，利用解直角三角形求得CF=2=CP，AB=13，进而可求解．

【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，又∠ABC=25°，

∴∠CAB=90°?25°=65°，

∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，

∴∠CEB+∠CAB=180°，

∴∠CEB=180°?∠CAB=115°；

（2）解：DI=AD=BD，

证明：连接AI，

∵点I为△ABC的内心，

∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI=1

∴AD=

∴∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD，

∵∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI，

∴∠DAI=∠DIA，

∴DI=AD=BD；

（3）解：过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，

∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心．

∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，

∴AQ=AF，CF=CP，BQ=BP，

∵CI=22，∠IFC=90°，∠ACI=45°

∴CF=CI?cos

∵DI=AD=BD，DI=1322

∴AB=A

∴△ABC的周长为AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2×13+2×2

=30．

【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

2．（2024·四川德阳·中考真题）已知⊙O的半径为5，B、C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=60°,∠BAC的平分线交⊙O于点D．

(1)证明：点D为BC上一定点；

(2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F．

①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；

②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)①DF与⊙O相切，理由见解析；②DF的取值范围为53

【分析】（1）由∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠BAC=60°，可得BD=CD，结合B、C是

（2）①如图，连接OD，证明OD⊥BC，结合BC∥DF，可得

②分情况讨论：如图，当∠ABC=90°时，可得DF=BQ=532；如图，连接BD，当∠ACB=90°

【详解】（1）证明：∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠BAC=60°，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∴BD=

∵B、C是⊙O上两定点，

∴点D为BC的中点，是一定点；

（2）解：①如图，连接OD，

∵BD=

∴OD⊥BC，

∵BC∥

∴OD⊥DF，

∵OD为半径，

∴DF是⊙O的切线；

②如图，当∠ABC=90°时，

∴AC为直径，AC=10，

∵∠BAC=60°，

∴∠ACB=30°，

∴AB=5，BC=10

∵OD⊥BC，

∴BQ=CQ=5

∵∠BQD=90°=∠FQD=∠ABC=∠FBQ，

∴四边形BFDQ为矩形，

∴DF=BQ=5

如图，连接BD，当∠ACB=90°，

∵∠ACB=90°，OD⊥BC，

∴OD∥

∴∠BOD=∠BAC=60°，

∵OB=OD，

∴△BOD为等边三角形，

∴OQ=QD，

同理可得：BQ=5

∵BC∥

∴△OBQ∽△OFD，

∴OQOD

∴DF=2BQ=53

∴当△ABC为锐角三角形，DF的取值范围为53

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．

3．（20