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第13讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用

目录

TOC\o11\h\u高频考点类型 2

类型一：泰勒展开式 2

类型二：利用超越不等式比较大小 8

类型三：利用对数型超越放缩证明不等式 13

类型四：利用指数型超越放缩证明不等式 21

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法.

若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：

其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量.

2、麦克劳林(Maclaurin)公式

虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.

3、常见函数的麦克劳林展开式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）

4.1对数型超越放缩：（）

上式（1）中等号右边只取第一项得：结论①

用替换上式结论①中的得：结论②

对于结论②左右两边同乘“”得，用替换“”得：

（）结论③

4.2指数型超越放缩：（）

上式（2）中等号右边只取前2项得：结论①

用替换上式结论①中的得：结论②

当时，对于上式结论②结论③

当时，对于上式结论②结论④

高频考点类型

类型一：泰勒展开式

典型例题

例题1．（2024·陕西汉中·一模）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（????）（可能用到数值）

A．2.322 B．4.785 C．4.755 D．1.005

【答案】C

【分析】由题目观察可知，代入即可发现解法.

【详解】

所以=4.755

故选：C

例题2．（2324高三上·湖南永州·阶段练习）苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（????）（可能用到数值）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由麦克劳林公式得，进而可得答案.

【详解】解：根据麦克劳林公式得：，

所以

由于.

故的近似值为.

故选：B.

【点睛】本题考查数学知识迁移与应用能力，解题的关键是将所求近似代替，是中档题.

例题3．（多选）（2023·辽宁·二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式

由此可以判断下列各式正确的是（????）．

A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）

C． D．

【答案】ACD

【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确；

对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立；

对于D，由，证明

即可.

【详解】对于A、B，由，

两边求导得，

，

，

又，

，

，故A正确，B错误；

对于C，已知，则.

因为，则，即成立，故C正确；

故C正确；

对于D，,，

，

当，；；；

，,

所以，所以成立，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：

应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.

例题4．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．

其中是的导数，是的导数，是的导数……．

取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为，精确到0.01的近似值为．

【答案】

【分析】根据泰勒展开式，化简得到，求得的“泰勒展开式”中第三个非零项，令，代入上式，进而求得的近似值.

【详解】取时，可得

则

，

所以的“泰勒展开式”中第三个非零项为，

令，代入上式可得.

故答案为：；.

练透核心考点

1．（2023·宁夏银川·模拟预测）苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（????）（可能用到数值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23）

A．3.23 B．2.881 C．1.881 D．1.23

【答案】B

【分析】利用赋值法求得所求表达式的值.