山东省临沂第一中学2023-2024学年高三上学期数学周末强基训练（2024.1.27）.docxVIP

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高三数学周末强基训练2024.1.27

一、单选题

1．椭圆的离心率为，则（????）

A． B． C． D．2

2．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（????）

A．20种 B．16种 C．12种 D．8种

3．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（????）

A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线

C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线

4．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则（???）

A． B． C． D．

5．已知，则（????）

A． B． C．1 D．

6．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左?右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（????）

A． B． C． D．

7．已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（????）

A． B．2 C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（????）

A．函数为偶函数

B．曲线的对称轴为

C．在区间单调递增

D．的最小值为

10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（???）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递减 D．的图象与的图象关于对称

11．法国数学家加斯帕?蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图若椭圆E：的蒙日圆为C，M为蒙日圆C上的动点，过M作椭圆E的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ与椭圆E的一个交点为N，则（????）

A．C的方程为

B．面积的最大值为6

C．若点，，则当最大时，

D．若椭圆E的左、右焦点分别为，，且，则

12．已知函数的定义域为，且，若，则（????）

A． B．

C．函数是偶函数 D．函数是减函数

三、解答题

13．已知为数列的前项和，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

14．已知△的内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求证：；

(2)若的面积为，且，求．

15．如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

16．盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．

(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

(2)记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．

17．已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．

(1)证明：直线过定点；

(2)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．

18．如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形．

(1)证明：；

(2)若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角的大小．

19．已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立.

(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；

(2)若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？