精品解析：北京市清华大学THUSSAT2023届高三上学期12月诊断性测试数学（理）试题（原卷版）.docxVIP

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中学生标准学术能力诊断性测试2022年12月测试

理科数学试卷

本试卷共150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.或

2.设复数（其中i为虚数单位），则（）

A. B. C. D.

3.已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（）

A B. C. D.

5.在平面直角坐标系中，已知点P在直线上，且点P在第四象限，点．以PQ为直径圆C与直线l的另外一个交点为T，满足，则圆C的直径为（）

A. B. C. D.

6.已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点P，使得，设的内切圆半径为r，则r的值为（）

A. B. C. D.

7.若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．

A.20 B.40 C.60 D.80

8.已知双曲线左、右焦点分别为，，点A为双曲线渐近线上的一点，满足（O为坐标原点），，则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

9.若，则下列可能是的值的是（）

A.20° B.40° C.50° D.70°

10.已知，，，若满足，则的值为（）

A. B. C.2 D.3

11.平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（）

A. B. C. D.

12.如图所示，已知正四棱柱的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段和上，且满足，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段和MN上的动点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________．

14.已知，则的最大值为__________．

15.已知，则__________．

16.若函数的极小值点为1，则实数a的取值范围是__________，

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.在中，角所对的边分别为，且．

（1）求的值；

（2）若D为AB中点，且，求面积最大值．

18.如图所示，已知中，，且，现将沿BC翻折到，满足．

（1）求证：；

（2）若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．

19.已知数列的前n项和为，在数列中，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，为数列的前n项和，求的最值．

20.如图所示，过原点O作两条互相垂直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P．

（1）求点P的坐标；

（2）证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值．

21.已知函数．

（1）试讨论的单调性；

（2）求使得在上恒成立的整数a的最小值；

（3）若对任意，当，时，均有成立，求实数m的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

［选修4—4：坐标系与参数方程］

22.已知曲线C的参数方程为（为参数），在极坐标系中，点．

（1）求曲线C的直角坐标方程，并求出点P与C的位置关系；

（2）过P的直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB长度的取值范围．

［选修4—5不等式选讲］

23.已知a，b，，且．

（1）求证：；

（2）若不等对一切实数a，b，c恒成立，求x的取值范围．