2024-2025学年高一数学试题（人教A版2019）23二次函数与一元二次方程不等式（七大题型）.docx

2．3二次函数与一元二次方程、不等式

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳】 2

题型一：解不含参数的一元二次不等式 2

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 2

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 4

题型四：一次分式不等式的解法 6

题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 7

题型六：不等式的恒成立与有解问题 9

题型七：一元二次方程根的分布问题 10

【重难点集训】 12

【高考真题】 21

【题型归纳】

题型一：解不含参数的一元二次不等式

1．（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是．

【答案】

【解析】由，即，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：

2．（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是．

【答案】

【解析】原不等式等价于，由于恒成立，

因此原不等式的解集为．

故答案为：

3．（2024·高二·湖南永州·阶段练习）解不等式：

【解析】由可得或，

由可得，

故不等式组的解为或，

4．（2024·高一·江西南昌·开学考试）解下列方程和不等式：

(1)

(2)

【解析】（1）依题意，，

解得或.

（2）依题意，

解得或，

所以不等式的解集为或.

题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇

5．（多选题）（2024·高二·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；

对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，

由韦达定理，，故，，即，故B正确；

对于C，由上分析可得，故C正确；

对于D，由上分析可得，故D正确.

故选：BCD.

6．（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则=，=

【答案】

【解析】依题意，不等式的解集为，

所以，解得.

故答案为：；

7．（2024·高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则的值为.

【答案】

【解析】关于的不等式的解集为，

，是一元二次方程的实数根，

，

且，.

，

，

又，解得.

故答案为：.

8．（2024·高一·上海·课后作业）若不等式有唯一解，则的值是．

【答案】2或

【解析】由于为开口向上的二次函数，

不等式的解可看作是在之间的图象对应的横坐标，

故不等式有唯一解，则有唯一解．

即，解得或．

故答案为：2或

题型三：含有参数的一元二次不等式的解法

9．（2024·高三·福建宁德·开学考试）解关于x的不等式.

【解析】不等式化为，

①当时，原不等式化为，解得．

②当时，原不等式化为，解得或．

③当时，原不等式化为.

当，即时，解得；

当，即时，解得满足题意；

当，即时，解得．

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

10．（2024·高一·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式.

【解析】当时，代入不等式可得，解得；

当时，化简不等式可得即，

由得不等式的解为，

当时，化简不等式可得即，

由得不等式的解为或，

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或.

11．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）解下列不等式

(1)

(2)

【解析】（1）因为，即，

注意到，所以不等式的解集为.

（2）因为，即，

令，解得或，

若，即，所以不等式的解集为；

若，即，所以不等式的解集为；

若，即，所以不等式的解集为；

综上所述：若，不等式的解集为；

若，不等式的解集为；

若，不等式的解集为.

12．（2024·高一·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示）

【解析】由已知，可得，

（1）当时，方程有两实根，

不等式的解集为．

（2）当时，方程的根的判别式．

①当时，，所求不等式的解集为R；

②当时，，所求不等式的解集为；

③当时，，所求不等式的解集为或．

综上所述：当时，解集为；

当时，解集为或．

当时，解集为；

时，解集为R.

题型四：一次分式不等式的解法

13．（2024·高一·广东·开学考试）不等式：的解为．

【答案】或

【解析】由，得或，解得或，

所以不等式的解为或.

故答案为：或

14．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是.

【答案】或

【解析】等价于，解得或，

故解集为或.

故答案为：或

15．（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是

【答案】或．

【解析】原不等式等价于

解得或