专题28平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义知识梳理真题自测考点突破分层检测新高考专用解析版.pdfVIP

专题28平面向量的概念及线性运算（新高考专用）

目录

【知识梳理】2

【真题自测】3

【考点突破】7

【考1】平面向量的概念7

【考2】向量的线性运算12

【考3】共线向量定理的应用17

【分层检测】23

【基础篇】23

【能力篇】31

【培优篇】35

考试要求：

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量

→→

的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.

ABAB

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任

一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：

求两个向量和三角形法则a＋b＝b＋a.

加法

的运算(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

平行四边形法则

求两个向量差

减法a－b＝a＋(－b)

的运算

规定实数λ与(1)|λa|＝|λ||a|；λ(μa)＝λμa；

数乘向量a的积是(2)当λ＞0时，λa的方向(λ＋μ)a＝λa＋μa；

一个向量，这与a的方向相同；当λ＜0λ(a＋b)＝λa＋λb

种运算叫做向时，λa的方向与a的方向

量的数乘，记相反；当λ＝0时，λa＝0

作λa

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

→1→→

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB).

2

→→→

2.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.