高二数学讲义（人教A版2019）21直线的倾斜角与斜率（七大题型）.docx

2．1直线的倾斜角与斜率

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳目录】 2

【思维导图】 2

【知识点梳理】 2

【典型例题】 4

题型一：直线的倾斜角与斜率定义 4

题型二：斜率与倾斜角的变化关系 6

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 9

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 11

题型五：直线平行 14

题型六：直线垂直 15

题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 17

【题型归纳目录】

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．

规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．

知识点诠释：

1、要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②轴正向；

③小于的角．

2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．

3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．

4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．

5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．

知识点二：直线的斜率

1、定义：

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

知识点诠释：

（1）当直线与x轴平行或重合时，，；

（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．

2、直线的倾斜角与斜率之间的关系

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．

知识点三：斜率公式

已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．

知识点诠释：

1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：

（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；

（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

（1）由、点的坐标求的值；

（2）已知及中的三个量可求第四个量；

（3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；

（4）证明三点共线．

知识点四：两直线平行的条件

设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即．

因此，若，则．

反之，若，则．

知识点诠释：

1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；

2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则．

知识点五：两直线垂直的条件

设两条直线的斜率分别为．若，则．

知识点诠释：

1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直．

【典型例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

【典例11】（2024·高二·河北保定·期末）直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设直线的的倾斜角为，且，

直线的斜率，所以，

故选：A

【典例12】（2024·高二·全国·课后作业）下列命题正确的是（）

A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行

B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60°

D．若是直线l的倾斜角，且，则

【答案】A

【解析】对于A，两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行，A正确；

对于B，当时，直线不存在斜率，B错误；

对于C，，则，C错误；

对于D，由，得，D错误.

故选：A

【方法技巧与总结】

（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．

（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．

（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．

【变式11】（2024·高二·天津南