2025届新高考数学热点冲刺复习 与球有关的切、接问题.pptx

2025届新高考数学热点冲刺复习

与球有关的切、接问题

正方体棱长为a，①外接球直径为体对角线：

正方体棱长为a，内切球直径：

②内切球直径为棱长：

正方体棱长为a，棱切球直径：

③棱切球直径为面对角线：

长方体长a，宽b，高c，外接球直径：

外接球直径为体对角线：

正四面体棱长为a，其外接球的半径：

正四面体棱长为a，外接球：

正四面体棱长为a，其内切球的半径：

正四面体棱长为a，其外接球的半径：

其内切球的半径：

口诀：高三外四内一二，一定要记得特别6

153页例2

行业PPT模板http:///hangye/

1.墙角模型

2.垂面模型

3.对棱相等模型

4.汉堡模型

5.斗笠模型

6.切瓜模型

7.内切球模型

目录

PART01

墙角模型

墙角模型：三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．

解析在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径.

设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，

A

PART02

垂面模型

垂面模型：

1.底面外接圆的半径

2.勾股定理！！

D

方法一：垂面模型

方法二：墙角模型

▲ABC为直角三角形，

D

则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，

又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

所以BC⊥PB，

所以△PBC为直角三角形，

又△PAC为直角三角形，

所以PC是三棱锥P－ABC外接球直径，

设O是PC的中点，即为球心，

又AC＝4，PA＝2，

o

A

解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为

设球O的半径为R，该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，

连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.

所以R2＝25，所以该球的表面积为S＝4πR2＝100π，

综上，该球的表面积为100π.

PART03

对棱相等模型

对棱相等模型

34π

解析根据题意，三棱锥P－ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，

设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，

则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，

解得a＝3，b＝3，c＝4.

所以该三棱锥的外接球的半径

PART04

汉堡模型

汉堡模型

C

解析由题意作图如图，过球O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，

∴BC＝5，

PART05

斗笠模型

斗笠模型（圆锥模型）

B

解析如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1,即AD＝3BD，设球的半径为R，

所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，

所以BD＝1，AD＝3.

因为CD⊥AB，

则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，

所以∠CAD＝∠BCD，

又因为∠ADC＝∠BDC，

所以△ACD∽△CBD，

PART06

切瓜模型

切瓜模型（面面垂直模型）

类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形

例3(1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为()

A.12π B.16π C.20π D.32π

B

解析如图，连接AC，BD，AC∩BD＝G，

取AD的中点E，连接PE.

∵四边形ABCD为矩形，

∴G为四边形ABCD的外接圆圆心；

∵△PAD为等边三角形，∴M为△PAD外接圆圆心，

过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线，则两垂线的交点即为球O的球心O，连接OP，

∵△PAD为等边三角形，∴PE⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG；

同理可得，OM∥EG，∴四边形OMEG为矩形；

∴球O的表面积S＝4πR2＝16π.

PART07

内切球模型

内切球模型

D

设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A，

如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B.

则OA＝O1B＝2.

设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，

(2)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为

()

D

解析依题意知，当健身手球与直三棱锥的三个侧面均