高中数学人教A版选择性必修第一册：3.1.1椭圆及其标准方程教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

秋季

课题

3.1.1椭圆及其标准方程

教学目标

1.通过理解椭圆定义的得出过程，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。

2.通过运用坐标法推导椭圆的标准方程，培养学生数学运算和数学建模的核心素养。

教学重难点

教学重点：

1.理解椭圆的定义。

2.掌握椭圆的标准方程的推导及求法。

教学难点：

1.运用定义法和待定系数法求椭圆标准方程。

2.运用椭圆的标准方程解决相关问题。

教学过程

一、情景引入

问题1;我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆。如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？

师生活动：通过图片展示，引导学生认识截面与圆锥的轴所成的角不同时得到的不同的截口曲线，并指出它们分别是椭圆、双曲线、抛物线。

设计意图：引发学生思考，让学生明确本章内容的意义与价值，激发学生积极探究学习的心理倾向。

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊。当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数的方法研究圆锥曲线。

本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题。进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。

设计意图：让学生从整体上把握本章的学习内容和基本框架，为后续学习提供先行组织者，同时深化学生对坐标法研究问题的基本思路和基本方法的理解。

椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类的生活中具有广泛的运用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？

我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？

二、探究新知

探究一:椭圆的定义

问题2：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

师生活动：教师通过信息技术演示，引导学生发现所画曲线具有的共同特点。

设计意图：通过信息技术直观展示，强化学生对椭圆的几何特征的认识，

追问1：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。

追问2：你能归纳出椭圆的定义吗？并用数学语言来刻画？

我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(一般用2c表示)，焦距的一半称为半焦距(用c表示).

设计意图：通过问题引导学生抽象出椭圆的定义，提高学生思维的严谨性和语言表达能力，同时让学生获得焦点、焦距的概念，数学语言刻画为后面标准方程的推导提供基础。

追问3：如果这个常数等于或小于时，相应的轨迹存在吗？是什么？

若时,M点轨迹为线段.

若时,M点轨迹不存在.

探究二:椭圆的标准方程

问题3：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

师生活动：教师引导学生观察发现椭圆是对称图形，在生生、师生讨论的基础上，明确建立椭圆标准方程的基本步骤，并推导出焦点在x轴上的标准方程。

设计意图：明确求曲线方程的大致步骤，以及如何建立适当的直角坐标系，进而掌握推导圆锥曲线方程的一般思路和方法，深化学生对曲线与方程的关系的理解。

设M(x,y)是椭圆上任意一点，

椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点的坐标分别为（?c，0)，(c，0)．

根据椭圆的定义，设点M与焦点的距离的和等于2a.

由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集

因为

所以

追问1：如何对进行化简？

①，为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，

得②

对方程②两边平方，得

整理，得③

对方程③两边平方，得

整理，得④

将方程④两边同除以，得.

由椭圆的定义知,，即，所以.

追问2：你能从图中找出表示的线段吗？

F1F

F

F

P

O

x

令

那么方程就是

我们称叫做椭圆的标准方程.

它表示焦点在x轴上，

焦点坐标：

追问3：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？

此时椭圆的标准方程为.

它表示焦点在y轴上，

焦点坐标：

师生活动：学生先猜想，并讨论猜想成立的依据，再由学生独立完成。

设计意图：完善椭圆的标准方程