【优化设计】备战2025年新高考---高考数学二轮复习讲义(四)压轴大题抢分练含答案.docx

【优化设计】备战2025年新高考---高考数学二轮复习讲义(四)压轴大题抢分练(四)压轴大题抢分练

抢分练1(分值:34分)

学生用书P237

1.(17分)(2024·江苏苏州三模)已知函数f(x)=cosx,g(x)=a(2-x2).

(1)当a=1时,求F(x)=f(x)-g(x)的零点个数;

(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的最大值;

(3)求证:∑i=1nsin(π3?ki)33(n-2

(1)解当a=1时,g(x)=2-x2,则F(x)=f(x)-g(x)=cosx-2+x2,

所以F(x)=-sinx+2x.

令h(x)=-sinx+2x,则h(x)=-cosx+20,

所以h(x)=-sinx+2x在R上单调递增,即F(x)=-sinx+2x在R上单调递增,且F(0)=0+0=0.

当x0时,F(x)0,所以F(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

当x0时,F(x)0,所以F(x)在区间(-∞,0)上单调递减.

又F(0)=-1,F(2)=F(-2)=cos2+20,则存在x1∈(-2,0),x2∈(0,2),使得F(x1)=0,F(x2)=0,

所以F(x)有两个零点.

(2)解令m(x)=f(x)-g(x)=cosx-2a+ax2,由m(0)≥0,得a≤12.令H(x)=cosx-1+12x2=cosx+12

所以H(x)=-sinx+x.

令φ(x)=-sinx+x,可得φ(x)=-cosx+1≥0,

所以φ(x)=-sinx+x在R上单调递增.

当x=0时,φ(0)=sin0+0=0.

当x0时,φ(x)=-sinx+xsin0+0=0.

当x0时,φ(x)=-sinx+xsin0+0=0,

所以H(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,在x=0处取到极小值,所以H(x)≥H(0)=cos0-1+12×02=0,即cosx≥1-12

所以f(x)≥g(x)恒成立,所以实数a的最大值是1

(3)证明因为3sinπ3?ki+1≥3sinπ3?ki+cosπ3?ki=2sin

由(2)可得cosx≥1-12x2

所以coski≥1-12

所以∑i=1n[3sin(π3?ki)+1]≥2

所以∑i=1n3sin(π3?

又∑i=1n(ki)2=k2(1+122+132+…+1n2)k2(1

所以∑i=1nsin(π3?ki)33(n-2

2.(17分)(2024福建漳州三模)某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车,该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统(记为系统A和系统B),该型号汽车启动自动驾驶功能后,先启动这两个自动驾驶系统中的一个,若一个系统出现故障,则自动切换到另一个.为了确定先启动哪一个系统,进行如下试验:每一轮对系统A和系统B分别进行测试,得出一轮的测试结果后,再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时,就停止试验,并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题,约定:对于每一轮试验,若系统A不出现故障且系统B出现故障,则系统A得1分,系统B得-1分;若系统A出现故障且系统B不出现故障,则系统A得-1分,系统B得1分;若两个系统都不出现故障或都出现故障,则两个系统均得0分.设系统A、系统B出现故障的概率分别记为α,β,一轮试验中系统A的得分为X.

(1)求X的分布列;

(2)若系统A和系统B在试验开始时都赋予2分,pi(i=0,1,2,3,4)表示“系统A的累计得分为i时,最终认为系统A比系统B更稳定”的概率,则p0=0,p4=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,3),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).现根据p2的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统,若p2≤0.1,则先启动系统B;若p2≥0.9,则先启动系统A;若0.1p20.9,则随机启动两个系统中的一个,且先启动系统A的概率为p2.

(ⅰ)证明:p2=(1

(ⅱ)若α=0.001,β=0.002,由(ⅰ)可求得p2≈0.8,求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.

(1)解X的可能取值为-1,0,1.

P(X=-1)=α(1-β),

P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)=1-α-β+2αβ,

P(X=1)=(1-α)β,

所以X的分布列为

X

-1

0

1

P

α(1-β)

1-α-β+2αβ

(1-α)β

(2)(ⅰ)证明由题意,得pi=α(1-β)pi-1+[1-α(1-β)-(1-α)β]pi+(1-α)βpi+1,所以[α(1-β)+(1-α)β]pi=α(1-β)pi-1+(1-α)βpi+1,

所以pi+1=[α(1

又p