多元函数的极值及其求法.ppt

§12-2多元函数的极值及其求法多元函数的极值和最值引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？显然每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.0、问题的提出引例2：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买个U盘，个鼠标达到最佳效果，效果函数为．设每个U盘8元，每个鼠标10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.添加标题条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件极值.添加标题如引例1。添加标题如引例2。添加标题从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不同，多元函数的极值分为两类：添加标题思考：为什么一元函数的极值没有分类！添加标题两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，先讨论与最值有密切联系的极值问题！添加标题一、多元函数极值的定义多元函数极值的定义注意：这里要求严格小于。极大值、极小值统称为极值.添加标题使函数取得极值的点称为极值点.添加标题(1)(3)例1例２例３例4.的极值.定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有存在故二、多元函数取得极值的条件

该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值！01注：1）几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面；单击此处添加小标题03偏导存在的极值点单击此处添加小标题05注意：单击此处添加小标题02驻点单击此处添加小标题04如何判定驻点是否为极值点？（稍后回答）单击此处添加小标题06使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点.单击此处添加小标题如例2，显然函数不存在。结论：极值点必在驻点和偏导数不存在的点中！把驻点和偏导数不存在的点称为可疑极值点.偏导数不存在的点也可能是极值点。与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当不证明，自己看第二节(P108).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且例4.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(1,2)处不是极值;不是极值;为极大值.在点(?3,0)处在点(?3,2)处由上例可知:例5.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为3、最值应用问题函数f在闭域上连续添加标题函数f在闭域上可达到最值添加标题最值可疑点添加标题驻点添加标题边界上的最值点添加标题我们可以把最值问题分为两类：添加标题偏导不存在的点添加标题函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.连续函数在闭区域上的最值：方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界02连续函数在开区域上的最值；方法：将函数在D内的所有驻点和偏导不存在的点处的01