基本不等式-均值不等式PPT课件(人教版必修5).ppt

新课标人教版课件系列《高中数学》必修53.4.1《基本不等式

-均值不等式》推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。01教学重点：02推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。03教学目标如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：定理：均值定理：如果a,b∈R+，那么（当且仅当a=b时，式中等号成立）证明：∵∴即：当且仅当a=b时的几何平均数。语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称为基本不等式为a，b020301称注意：1．适用的范围：a,b为非负数.的算术平均数，称为a，b我们把不等式(a≥0,b≥0)的等差中项，把看做两个正数a，b看做正数a，b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?几何直观解释：令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和的两条线段，然后比较这两条线段的长。具体作图如下：（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB为直径作半圆O；（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C（4）连接AC，BC，CA，则当a≠b时，OCCD，即当a=b时，OC=CD，即例1．已知ab0，求证：，并推导出式中等号成立的条件。证明：因为ab0，所以，根据均值不等式得即当且仅当时，即a2=b2时式中等号成立，因为ab0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？01已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？02分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；03在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。041解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有xy=100(m2)，2因为x0，y0，所以，3因此，即2(x+y)≥40。4当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=10。5因此，当这个矩形的长与宽都是10m时，它的周长最短，最短周长是40m.1设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，2因为x0，y0，所以，3因此4将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81,5当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，123因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的面积最大，最大值是81m2。两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。123规律：例3．求函数的最大值，及此时x的值。解：，因为x0，所以得因此f(x)≤当且仅当，即时，式中等号成立。由于x0，所以，式中等号成立，因此，此时。*