角的推广+高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册.pptx

—第七章三角函数—

7.1.1角的推广

1.了解任意角的概念.

2.理解象限角的概念.

3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.

自行车轮子按逆时针方向转一圈，转了360°；转两圈，转了多少度？三圈呢？

角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.观察下列生活现象，说说你的发现.

1.拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧.

2.体操和跳水运动中的“转体720°”（即转体两周）、“转体900°”（即转体两周半）等.

一条射线绕着其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角.

正角：射线按照逆时针方向旋转而成的角

负角：射线按照顺时针方向旋转而成的角

零角：射线没有旋转时形成的角

注意：

2.角的正负由旋转方向决定；

1.角可以任意大小；

3.旋转绝对量可以超过周角.

如图所示：

∠AOB=120°

∠BOA=-120°

用带箭头的弧表示旋转方向和旋转的绝对量

各角和的旋转量等于各角旋转量的和.

讨论：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么对一个任意的角，角的终边可能落在哪些位置？

情况一：

象限角：终边落在第几象限就是第几象限的角.

例：45°，-315°，405°角都是第___象限的角，124°角是第___象限的角，210°角是第___象限的角，-45°角是第___象限的角.

一

二

三

四

始边

终边

终边

终边

终边

情况二：

轴线角：终边落在坐标轴上.

思考2：390，330，30是第几象限的角？这些角的终边有什么关系？

390°

-330°

它们都是第一象限的角，角的终边相同.

30°

思考3：除了这些角之外还有哪些角与30°角终边相同？它们构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？

390°=30°+1×360°

-330°=30°+（-1）×360°

1470°=30°+4×360°

-1770°=30°+（-5）×360°

2×360o+30o-2×360o+30o

3×360o+30o-3×360o+30o

4×360o+30o-4×360o+30o

……， ……，

相差360o的整数倍

S={β|β=30°＋k·360°,k∈Z}.

S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}

注意：

⑴k∈Z；

⑵α是任意角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的

角有无限个，它们相差360°的整数倍.

终边相同的角

例1:给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是负角；

③小于180°的角是钝角、直角或锐角；

④始边和终边重合的角是零角．

其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．

√

－350°角是第一象限角

×

0°角不是钝角，也不是直角或锐角

×

360°角的始边与终边重合

×

①

(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．

理解角的概念的关键与技巧

(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．

例2:在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角：

(1)-150°；(2)650°；(3)-950°15′.

解：(1)因为-150°=-360°+210°，所以在0°～360°范围内，与-150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角；

(2)因为650°=360°+290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角；

(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′，所以在0°～360°范围内，与-950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限的角.

变式：在360°～720°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角：

(1)-150°；(2)650°；(3)-950°15′.

答：(1)终边相同的角是210°角，它是第三象限的角；

(2)终边相同的角是650°角，它是第四象限的角；

(3)终边相同的角是489°45′角，它是第二象限的角.

解：因为α是第二象限角，所以90°+k·360°α180°+k·360°，k∈Z；

1．钟表的分针在一个半小时内转了()

A．180° B．－180°

C．540° D．－540°

2．(多选)下列各角中，与330°角的终边相同的角是()

A．510° B．1050°

C．－150° D．－390°

C

BD

3．终边与坐标轴重合的角α的集合是(