寒假自习课 25春初中数学九年级下册沪科版上课课件 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系.pptx

第24章圆

24.2圆的基本性质

24.2.3圆心角、弧、

弦、弦心距间关系

学习目标

1课时讲解

圆的旋转不变性、圆心角

圆心角、弧、弦、弦心距之间的

关系定理

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论

2课时流程

弧的度数与该弧所对圆心角的度

数的关系

逐点导讲练

课堂

小结

作业

提升

知识点1圆的旋转不变性、圆心角知1一讲

1.圆的旋转不变性圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.

2.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.

如图24.2-22,∠AOB是AB所对的圆心角，AB是∠AOB所对的

弧.一条弧所对的圆心角只有一个.图24.2-22

特别提醒

圆心角满足的条件：

1.顶点在圆心；

2.两条边和圆相交.

其中“顶点在圆心”是圆心角的必备条件.

如图24.2-23,已知A,B是⊙0上的两点，

∠AOB=120°,则OA:AB的值为()

B.

D.

图24.2-23

A.

C.

例1

解题秘方：过点O作垂直于弦的线段，结合

勾股定理求解.

教你一招

特殊的圆心角所对的弦与半径之间的特殊关系：

1.60°的圆心角所对的弦等于半径；

2.90°的圆心角所对的弦等于半径的√2倍；3.120°的圆心角所对的弦等于半径的√3倍。

图24.2-23设ON=a,则OA=2a.∵OA²-ON²=AN²,

∵∠AOB=120°,OA=OB,∴∠A=∠B=30°.

解：如图24.2-23,过点O作ON⊥AB于点N,

∴AN=√3a.∴AB=2√3a.∴

答案：C

知识点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理

1.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.

2.示例如图24.2-24,若∠AOB=∠AOB,

OC⊥AB,OC⊥AB,则AB=AB,

AB=AB,OC=OC.图24.2-24

不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果

丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.

如图24.2-25,两个圆的圆心相同，

AB与AB所对的圆心角相等，但

AB≠AB,AB≠AB.图24.2-25

警示误区

是⊙0的两条直径，弦CE//

解题秘方：构造圆心角，利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”证明.

例2如图24.2-26,AB,CD

AB.求证：BC=AE.

图24.2-26

证明：如图24.2-26,连接OE.

∵OE=0C,

∴∠C=∠E.

∵CE//AB,

∴∠C=∠BOC,∠E=∠AOE.∴∠BOC=∠AOE.∴BC=AE.

图24.2-26

技巧总结

由例2的结论可知：在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等.

以后若遇到圆的两条平行弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧所对的弦、圆心角、所对弦的弦心距分别相等.

1.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所

对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等(即“知一导三”).上述推

论可简记为：

在同圆或等圆中，圆心角相等一弧相等一弦相等一弦心距相等.

下列四个式子：

①∠AOB=∠COD;②AB=CD;

③AB=CD;④OE=OF.

其中有一个式子成立，则其他三个式子也成图24.2-27

立，即∠AOB=∠COD⇔AB=CD→AB=CD→

OE=OF.

2.示例如图24.2-27,OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F.

图示

此推论可表示为：在同圆或等圆中，

所对的弧相等

对应的弦心距相等

圆心角相等

所对的

弦相等

例3[模拟·上海]如图24.2-28,0是AD所在圆的圆心.已

知点B,C将AD三等分，那么下列四个选项中不正确

的是()

A.AC=2CD

B.AC=2CD

C.∠AOC=2∠

D.S扇形AOc=2S

COD

扇形COD

图24.2-28

解题秘方：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、

弦心距之间的关系定理的推论进行判断.

解法提醒

在同一个圆中，弧、弦、圆心角和弦心距中只要有一组量相等，就能推出其他几组量分别相等.线段有和差，弧也有和差。

∵点B,C将AD三等分，

∴AB=BC=CD.AB+BC=2CD,

即AC=2CD.故A选项正确.

∵AB=BC=CD