寒假自习课 25春初中数学九年级下册沪科版上课课件 24.3 圆周角.pptx

第24章圆

24.3圆周角

圆周角及圆周角定理

圆周角定理的推论

圆的内接多边形

逐点导讲练

课堂小结

作业提升

1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个

公共点的角叫做圆周角.

(1)特征：圆周角必须满足两个条件：

①顶点在圆上；②两边都和圆相交.

社

(2)示例：如图24.3-1①中的角是圆周角，②③④中的角都

不是圆周角.

④

只有一边与圆相交

图24.3-1

的一半.

示例：如图24.3-2,

2.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角

图24.3-2

B

圆心角

圆周角

区别

顶点在圆心

顶点在圆上

在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一

在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个

联系

两边都与圆相交

特别提醒

圆心角与圆周角的区别与联系：

例1如图24.3-3,AB是⊙0的直径，弦BC=BD,若

∠BOD=50°,求∠A的度数.

图24.3-3

技巧提醒

圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.

解题秘方：连接OC,将求BC所对的圆周角转

化为求BC所对的圆心角来解.

解：如图24.3-3,连接OC.

∵BC=BD,

∴∠BOC=∠BOD=50°.

图24.3-3

知1一练

1.推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

相等的圆周角所对的弧也相等.

2.推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

3.“五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、

两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

特别提醒

“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”,结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，即顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角.

∠APC=∠CPB=60°.求证：△ABC是等边三

角形.

解题秘方：紧扣

“同弧所对的圆周角相等”来判断.

如图24.3-4,A,P,B,C是圆上的四个点，

图24.3-4

知识链接

等边三角形的判定方法：

方法1:有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；

方法2:三边都相等的三角形是等边三角形；

方法3:三个角都相等的三角形是等边三角形；

方法4:有两个角是60°的三角形是等边三角形.

证明：∵A,P,B,C是圆上的四个点，

∴∠ABC=∠APC,∠BAC=∠CPB.又∵∠APC=∠CPB=60°,

∴∠ABC=∠BAC=60°.

∴△ABC是等边三角形.

[中考·山西]如图24.3-5,△ABC内接于⊙0,AD是

⊙0的直径，若∠B=20°,则∠CAD的度数是

()

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

图24.3-5

解题秘方：本题考查了圆周角定理的推论、三角形

内角和定理.熟练掌握圆周角定理的推论是解此题的关键.

解法提醒

题中条件有直径，因此作辅助线，构造直径所对的圆周角(直角)是常用的作辅助线的方法.

解：如图24.3-5,连接CD.

∵AD是⊙0的直径，∴∠ACD=90°.

∵∠D和∠B是AC所对的圆周角，

∴∠D=∠B=20°,

图24.3-5

∴∠CAD=180°一∠ACD一∠D=70°.

答案：C

如图24.3-6,已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交

于A,B两点，点C是圆上一点，则∠ACB的度数是()

A.80°

B.90°

C.100°

D.无法确定

图24.3-6

圆中常见的作辅助线的方法：

1.有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直.简记为：见直径作直角.

2.有90°的圆周角，通常作直径.简记为：有直角作直径。

解题秘方：利用“90°的圆周角所对的弦是直

径”,结合“直径所对的圆周角是直角”求解.通用技巧

解：如图24.3-6,连接AB.

∵∠AOB=90°,

∴AB是⊙P的直径.

∴∠ACB=90°.

答案：B

图24.3-6

1.圆的内接多边形

一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

2.圆内接四边形的性质

定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.

特别解读

每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.

例5[中考·宜昌]如图24.3-7,四边形ABCD内接于⊙0,

连接OB,OD,BD,若∠C