数学归纳法+高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册.pptx

1.5数学归纳法

北师大版(2019)选择性必修二

1.了解数学归纳法的原理.

2.掌握利用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤.

3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

早在春秋战国时期，军事指挥官们就发明了设置烽火台用以报警的方法，假定在西边第一个烽火台发现了了敌情，要使由西到东每一处都知道就需要发布两道命令：

1.第一个烽火台必须首先点火.

2.看到第一个点后，第二个必须立即点火，当看到第二个烽火台点着，第三个必须立即火，……不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火.

如果把烽火台编号为1，2，3……，类比烽火台传递军情的过程，你能用数学语言表述上面两个命令吗？

1.第一个烽火台必须首先点火；

2.不论哪一个点了火，它后面的那个就要立即点火。

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：

(1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立.

根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.

两个步骤

一个结论

缺一不可

证明：假设n=k时等式成立，即

当n=k+1时

上述证法是正确的吗？为什么？

是错误的，事实上命题本身就是错误的，

当n=1时，左边=1，右边=0，左边与右边不等.

猜想：

用数学归纳法证明，第一个取值为5.

结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.

结论3：在第一步中的初始值不一定从1取起,证明应根据具体情况而定.

结论2：在第二步中证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.

例1(1)用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是()

A.1 B.1＋3

C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4

C

(2)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时，在n

＝k时的左端应加上_____________________________.

解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，

n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，

所以在n＝k时的左端应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.

(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2

“归纳—猜想—证明”的解题步骤

C

D