2023—2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学高一下学期期中数学试卷.docVIP

2023—2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学高一下学期期中数学试卷

一、单选题

(★)1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★★★)2.已知平面向量，不共线，，，，则（）

A．三点共线

B．三点共线

C．三点共线

D．三点共线

(★★)3.已知，则（）

A．12

B．

C．8

D．

(★)4.如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（）．

A．直线

B．直线

C．直线

D．直线．

(★★★)5.已知、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，，则

B．若，，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

(★★)6.在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（）

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形

(★★★)7.已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.下列说法错误的是（）

A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

B．若，则或

C．若向量满足，且与同向，则

D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使

(★★)10.已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（）

A．若，则

B．若，则

C．

D．若，则

(★★★★)11.如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（）

A．与一定异面

B．的最小值为

C．三棱锥体积的最小值为

D．与不可能垂直

三、填空题

(★)12.如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是________．

(★★)13.已知中，角A，B，C满足：，则________．

(★★★)14.向量满足，且，则________．

四、解答题

(★)15.（1）已知，若为纯虚数，求m的值．

（2）已知复数z满足，求z．

(★★★)16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．

(1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由；

(2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值．

(★★★)17.已知的内角、、的对边分别为、、，且．

(1)求；

(2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值．

(★★★)18.如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，

(1)求证：平面；

(2)若四棱锥的体积为

①求证：平面；

②求与平面夹角的正弦值．

(★★★★★)19.在平面直角坐标系中，利用公式①（其中a，b，c，d为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…．表示．

(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点O按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；

(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点O按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

(3)向量称为行向量形式，也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意单位向量，是平面上与不垂直的向量，且与夹角为，满足；当在方向上的投影向量模长为1时，求矩阵A．