重难点16 几何压轴突破四 几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（3种类型7种题型详解 专题训练）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（原卷版）.docx

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第四章三角形

重难点16几何压轴突破四几何最值问题之

胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型

（3种类型7种题型详解+专题训练）

【题型汇总】

类型一胡不归模型

【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.

【模型详解】

条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.

图示：

解题步骤：

作射线AM使sin∠PAM=k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.

2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k?PA，此时k?PA+PB=PC+BP.

3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的

解题大招：即当B，P，C三点共线时，k?PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.

模型总结：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k?PA相等的线段，将“k?PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k?PA的等线段

注意：若k1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.

【模型拓展】

对形如a?PA+b?PB(ab)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.

题型01已有相关角直接作垂线

1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP

??

2．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x?3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+

3．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为

4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+

5．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，AB=AC，A0，15，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A?D?C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D

6．（2023·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=OB=3，点M在线段AC上，且AM=2．点P为线段

??

（1）∠OBC=°；

（2）MP+12PB的最小值为

7．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=?43x?4分别与x，y轴交于点A，B

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是0,6，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任一点，求35BP+EP取最小值时，点

8．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接BD，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE=BF，连接DE，DF，EF．

(1)如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；

(2)如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；

(3)若点P是线段BD上的一个动点，连接PF，求PF+3

9．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+2ax?3a与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为23．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿CP运动到点P，再以