精品解析：2024年南京大学强基计划测试数学笔试试题（解析版）.docxVIP

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2024年南京大学强基计划数学笔试试题

考试时间：6月16日14:00-15:30

数学共12道题，满分100分．

1.已知的三条边长，复数，满足，，，则为________数.

【答案】虚

【解析】

【分析】利用，化简转化为实系数一元二次方程，根据根的判别式得到为虚数.

【详解】

，

故，

方程两边同乘以得，，

这是一个关于的实系数一元二次方程，

又三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

且

，

故为虚数（当且仅当，即为直角三角形时，为纯虚数）

故答案为：虚

【点睛】关键点点睛，将两边平方，转化为实系数一元二次方程，结合根的判别式进行求解

2.双曲线，过左、右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A，B，C，D，若ABCD构成正方形，求双曲线的离心率为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意表示出，再由化简可求出离心率.

【详解】，

当时，，，

则，所以，

所以，

因为为正方形，所以，

所以，化简得

所以，

所以，解得，

因为，所以

故答案为：

3.已知函数，对于，恒成立，求的最大值是________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题目得到，从而，故，换元后得到结合基本不等式求出最值.

【详解】恒成立，

，

，，

，

令，则，

所以

，

当且仅当，即，时，等号成立.

故答案为：

4.过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为________.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数求出点处切线的斜率，即可得到切线方程，从而求出点坐标，再求出焦点坐标，即可得到四边形的面积.

【详解】当时，，则，则，

所以切线方程为，即，

令，解得，所以，又抛物线的焦点，

所以.

故答案为：

5.四面体棱长为4，7，20，22，28，t，，求t的最小值是________.

【答案】9

【解析】

【分析】利用三角形任意两边的和大于第三边可得长为4和28的棱必为相对棱，为四面体的一个表面三角形三边，求出的范围得解.

【详解】由，得长为4和28的棱不能为四面体的同一个表面三角形的边，

则长为4和28的棱必为四面体的相对棱，又，则四面体与长为7的棱相对的棱长为20或22，

因此，而，所以t的最小值是9.

故答案为：9

6.存在集合的一族子集两两交集非空，那么这族子集最多有________个.

【答案】##

【解析】

【分析】设是含有个元素的子集且对应有个，且，即可得结果.

【详解】显然，这族子集不含有空集，按所含元素多少可把这族子集分为10类，

不妨设是含有个元素的子集，对应有个，

显然，一元子集至多只有一个，若不止一个，则它们的交集都是空集，不合题意，

所以，故最多有个.

故答案为：

7.已知，，判断是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值.

【答案】无最大值，最小值为4

【解析】

【分析】直接将目标展开，消掉即得最小值和取等条件，关于的函数永远有根，则关于的一元二次方程单增，故没有最大值.

【详解】，，

=，当且仅当“”时取等；

，即，此时，即为任意正值，都有解，即都有这样的.

看成关于的二次单增函数，所以无最大值.

所以无最大值，最小值为4.

8.满足的非零有理系数多项式的最低次数为________.

【答案】

【解析】

【分析】先对进行变形，构造出满足条件，然后证明如果非零有理系数多项式满足，则一定拥有个不同零点，从而说明的次数至少为，即可得到答案.

【详解】设.

一方面，有.

所以，故.

从而，故有.

即.

移项，合并同类项，得.

这表明非零有理系数多项式满足条件；

另一方面，若非零有理系数多项式满足，即是的一个零点.

不妨设是非零整系数多项式，否则将乘以其系数的公分母，再替换即可.

设，则据假设有

.

再设，则.

设多项式展开后是.

根据的结构可以看出，每个都可以表示为的有理系数多项式形式.

从而每个都能表示为.

由于，故

由于一定是整数或整数倍，结合的形式，知一定存在，使得

.

从而，即.

比对每个根式的系数，即得.

所以亦有，故，即.

所以，这说明也是的零点.

采用相同的方法，可以证明，，，，，，，均为的零点.

所以非零多项式至少有个零点，从而的次数至少为.

综合以上两方面，可知的最低次数为.

故答案为：.

9.已知，的最大项是________.

【答案】

【解析】

【分析】写出二项展开式通项，假设第项最大，建立不等式求解即可.

【详解】二项式展开式通项为：，

设第项最大，则，

解得，所以，有最大项是.

故答案为：

10.已知，，x为的个位数，求________.

【答案】3

【解析】

【分析】利用列举法求出的所有可能取值，并求出对应概率，再根据期望公式即可得解.

【详解】当时，，个位数为，有个，

当时，，个位数为，

当时，