5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册).pptx

5.4三角函数的图象和性质

5.4.2正弦、余弦函数的单调性与最值

(第2课时)

因为对于周期函数，如果把握了它的一个周期内的情况，那么也就把握了整个

函数的情况.

思考1:观察下图，找出sinx的值随着x的变化是如何变化的?

上节课我们学习了正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间(如

)上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.

当x由大到寸，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1;当x由曾大到

时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1.

X

π

2

0

π

π

sinx

-1

↗

0

1

0

-1

sinx的值的变化情况如表所示：

观察下图，可以看到：

2

这就是说，正弦函数y=sinx在区间上单调递增，在区间上单调递减.

由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间

都单调递增，其值从-1增大到1;在每一个闭区间单调递减，其值从1减小到-1.

X

兀

2

0

π-

π

3π

2

sinx

-1

↗

0

↗

1

0

-1

2

X

一π

0

π

-

2

π

COSx

-1

0

1

0

-1

思考2:类比于正弦函数，观察余弦函数在一个周期区间(如[-π,π])上函数值

的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表：

这就是说，正弦函数y=cosx,x∈[-π,π]在区间[-π,0]上单调递增，在区间[0,π]

上单调递减.

由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到-1.

x

一π

↗

0

π22

π

COsx

-1

0

↗

1

0

-1

思考3:在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最

值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得最值时对应的自变量x的值.

正弦函数当且仅当时取得最大值1,当且仅当

Z)时取得最小值-1;

余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取得最大值1,当且仅当x=π+2kπ(k∈Z)时

取得最小值-1.

π322π5273πz⁴π

π

2

例3.下列函数有最大值、最小值吗?如果有，请写出取最大值、最小值时自变量

x的集合，并求出最大值、最小值.

(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.

解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.

(1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx,x∈

R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z};使函数y=cosx+1,x∈R取得最小

值的x的集合，就是使函数y=cosx,x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+

1)π,k∈Z}.

函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2;最小值是-1+1=0.

例析

y=sinZ,Z∈R取得最小值的Z的集合.由2x=Z=

.所以，使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是.同理，使函数y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x

(2)y=-3sin2x,x∈R.

解：(2)令Z=2x,使函数y=-3sinZ,Z∈R取得最大值的Z的集合，就是使

函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.

例析

例4.不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1)与;(

解：(1)因为,正弦函数y=sinx在区间]上单调递增，

(2).因

π,且函数y=cosx在区间[0,π]上单调递减，所

例析

,即

例5.求函数,x∈[-2π,2π]的单调递增区间.

·

因为y=sinZ,的单调增区间是,且由

所以，函