专题31复数-2025年高考数学一轮复习讲义知识梳理真题自测考点突破分层检测新高考专用解析版.pdfVIP

专题31复数（新高考专用）

目录

【知识梳理】2

【真题自测】3

【考点突破】7

【考点1】复数的概念7

【考点2】复数的四则运算10

【考点3】复数的几何意义13

【考点4】复数与方程16

【分层检测】19

【基础篇】19

【能力篇】25

【培优篇】27

考试要求：

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

4.能进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知识梳理

1.复数的有关概念

(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其

中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

(2)分类：

满足条件(a，b为实数)

a＋bi为实数⇔b＝0

复数的

a＋bi为虚数⇔b≠0

分类

a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

→

(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，

b∈R).

2.复数的几何意义

→

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则：设z＝a＋bi，z＝c＋di，a，b，c，d∈R.

12

(2)几何意义：

复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZZZ可以直观地反映出复数加、减法的几何意

12

→→→→→→

义，即OZ＝OZ＋OZ，ZZ＝OZ－OZ.

121221

1.i的乘方具有周期性

4n4n＋14n＋24n＋34n4n＋14n＋24n＋3*

i＝1，i＝i，i＝－1，i＝－i，i＋i＋i＋i＝0，n∈N.

1＋i1－i

2

2.(1±i)＝±2i，＝i；＝－i.

1－i1＋i

3.复数的模与共轭复数的关系

－－

22

z·z＝|z|＝|z|.

真题自测

一、单选题

12023··aÎR,a+i1-ai=2,a=

．（全国高考真题）设，则（）

A．-1B．0·C．1