专题36向量法求空间角6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测原卷版.pdfVIP

专题36向量法求空间角6题型分类

1．异面直线所成的角

|u·v|

若异面直线l，l所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cosu，v〉|＝.

12

|u||v|

2．直线与平面所成的角

如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α

u·n|u·n|

的法向量为n，则sinθ＝|cosu，n〉|＝||＝.

|u||n||u||n|

3．平面与平面的夹角

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平

面β的夹角．

若平面α，β的法向量分别是n和n，则平面α与平面β的夹角即为向量n和n的夹角或其补角．设平面

1212

|n·n|

12

α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cosn，n〉|＝.

12

|n||n|

12

（一）

异面直线所成的角

用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．

π

(4)注意两异面直线所成角的范围是0，，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对

(2]

值．

题型1：异面直线所成的角

1-12024··ABCD-ABCDAA=2AB=2BC=2MCC

．（高二上北京丰台期末）在正四棱柱1111中，1，是棱1上

的中点．

(1)求证：AM^BD；

(2)异面直线AM与BC所成角的余弦值．

1-22024··ABC-ABCEABBA

．（全国模拟预测）已知正三棱柱111的侧面积是底面积的63倍，点为四边形11

的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（