2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高一（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

第PAGE1页（共NUMPAGES1页）

2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高一（下）期中数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）

1．若复数z＝﹣2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量a→=（2，1），b→=（4，x），且a→

A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8

3．在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，a＝2，b=233

A．π3 B．5π6 C．π6或

4．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）

A．33π B．π C．2π D

5．已知P为△ABC所在平面内一点，BC→

A．AP→=-12AB

C．AP→=32

6．已知非零向量a→，b→，则“|a

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acosB＝c，则△ABC的形状是（）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

8．对于非零向量m→，n→，定义运算“×”：m→×n→=|m→||n→|sinθ，其中θ为m→

A．a→×b→=b→

C．若a→×b→=0，则a→∥b→

9．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB，P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点．以下结论中正确的是（）

A．存在点Q，使BQ∥AC B．不存在点Q，使BQ⊥B1C1

C．对任意点Q，都有BQ⊥AB1 D．存在点Q，使BQ∥平面PCC1

10．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）

A．asin53°2sin47° B．2sin47°

C．atan26.5°tan73.5°tan47° D．

二、填空题（每题5分，共30分）

11．已知复数z＝i（1+i），则z=；|z|＝

12．已知向量a→=（1，﹣1），b→=（﹣2，1），则2a→+b→=

13．正四面体ABCD中，二面角A﹣BC﹣D大小的余弦值为．

14．已知点O（0，0），A（1，2），B（m，0）（m＞0），则cos＜OA→，OB→＞=，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝

15．若△ABC的面积为34（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；ca的取值范围是

16．如图矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列叙述正确的有（写出所有序号）．

①BM是定值；

②一定存在某个位置，使CE⊥DA1；

③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；

④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．

三、解答题（每题14分，共70分）

17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：EF⊥CD．

18．（14分）已知f（x）=3sin2x+2cos2x

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

19．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF．

（1）求证：平面BAF∥平面CDE；

（2）求证：平面EAC⊥平面EBD；

（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

20．（14分）已知在△ABC中，sin2A＝sinBsinC．

（1）若∠A=π3，求∠

（2）若bc＝1，求△ABC的面积的最大值．

21．（14分）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a→|a→=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意a1→∈Y，存在a2→∈Y，使得a1

（Ⅰ）判断{﹣1，1，2}是否具有性质P；

（Ⅱ）