2025年重庆市中考数学二轮复习课件：二次函数综合.pptxVIP

二次函数综合

二次函数的综合问题在中考中常常作为压轴题出现，多考查二次函数与几何

图形的综合，一般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似

三角形等相关知识，以及转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想.此类题型

常涉及以下问题：①求抛物线、直线的函数解析式；②求点的坐标、线段长度、

图形面积；③探究几何图形的存在性问题或周长、面积的最值问题.专题解读

例（2024八中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－4过点

（2，－4）且交x轴于点A（4，0），B两点，交y轴于点C. 典例剖析

?

??

?∴PQ＝xp－xQ＝－m2＋3m＋4.??

?

（3）存在.??设抛物线沿射线AD向左平移2n个单位长度，则向下平移n个单位长度，???

?∵点E为新抛物线对称轴在x轴上方的一点，∴设点E的坐标为（－4，a）.①若EF平分∠OEG，则∠OEF＝∠GEF.∵GE∥y轴，∴∠GEF＝∠EFO＝∠OEF，∴OE＝OF.∵AB＝OF＝6，∴OE＝6，???

②若OE平分∠FEH，则∠OEF＝∠OEH.∵EH∥y轴，∴∠OEH＝∠EOF＝∠OEF，????

1.（2024重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4

（a≠0）经过点（－1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点

B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4.针对训练

（1）求抛物线的函数解析式；??

（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交

AC于点D.点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的

中点，连接AM，NF.当线段PD长度取得最大值时，求AM＋MN＋NF的最小值；解：（2）令y＝0，则0＝－x2－3x＋4，解得x＝－4或x＝1，∴A（－4，0），设直线AC的函数解析式为y＝mx＋4，代入A（－4，0），得0＝－4m＋4，解得m＝1，∴直线AC的函数解析式为y＝x＋4.设P（p，－p2－3p＋4）（－4＜p＜0），则D（p，p＋4），∴PD＝－p2－3p＋4－（p＋4）＝－（p＋2）2＋4.

∵－1＜0，∴当p＝－2时，PD最大，此时P（－2，6），∴AE＝2，MN＝OE＝2，E（－2，0），∴AE＝MN，AE∥MN.如图1，连接EN，则四边形AMNE是平行四边形，∴AM＝EN，∴AM＋MN＋NF＝EN＋MN＋NF≥MN＋EF，图1∴当E，N，F三点共线时，EF取得最小值，即AM＋MN＋NF取得最小值.∵点F为线段BC的中点，???

（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取

得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动

点，当∠QDK＝∠ACB时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标.解：（3）由（2）得点D的横坐标为－2，代入y＝x＋4，解得y＝2，∴D（－2，2），∴新抛物线由y＝－x2－3x＋4向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到，∴y＝－（x＋2）2－3（x＋2）＋4－2＝－x2－7x－8.如图2，过点D作DQ1∥BC交抛物线y于点Q1，则∠Q1DK＝∠BCA.同理求得直线BC的解析式为y＝－4x＋4.∵DQ1∥BC，∴直线DQ1的解析式为y＝－4x－6.令－4x－6＝－x2－7x－8，解得x＝－1或x＝－2（舍去）.

图2当x＝－1时，y＝－2，∴Q1（－1，－2），如图2，过点D作DQ1关于直线AC对称的直线DQ2，交

抛物线y于点Q2，∴∠Q2DK＝∠Q1DK＝∠BCA.设DQ1交x轴于点G，在DQ2上截取DG＝DG.过点D作DR∥x轴，作DH⊥x轴于点H，过点G作GH⊥DR于点H.?∵A（－4，0），C（0，4），∴OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.∵DR∥x轴，∴∠RDA＝∠DAH＝∠ADH＝45°，∴∠GDH＝∠GDH.图2

∵∠GHD＝∠GHD＝90°，DG＝DG，???????图2

?

（1）求抛物线的函数解析式；?

?解：（2）如图1，延长PE交x轴于点G，过点P作PH∥y轴交BC于点H.?????图1图1

???∴PD＝2a－5，??此时P（5，－3）.图1

???如图2，当点N在y轴的左侧时，过点N作NK⊥y轴于点K.图2

易得直线AF的解析式为y＝－x－1.当x＝0时，y＝－1，∴M（0，－1），∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK.∵∠NMF－∠ABC＝45°，∴∠NMK＋45°－∠ABC＝45°，???图2

如图3，当N在y轴的右侧时，过点M作y轴的垂线，过