第06讲 几何法求空间角与空间距离（教师版）.docx

第06讲几何法求空间角与空间距离

（5类核心考点精讲精练）

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分

【备考策略】1.掌握等体积转化求点面距

2.掌握等几何法求异面直线所成角

3.掌握等几何法求线面角

4.掌握几何法求二面角

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查空间距离和空间角的求解，需强化巩固复习.

知识讲解

一、异面直线所成角

1.定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′//a,b′//b,我们把a′

二、直线与平面所成角

1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

2.范围：0,π2.

3.求法：

（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：

（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为l）和到平面的距离（设为

三、二面角

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。

2.范围：0,π.

3.求法：

利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。

（2）三垂线法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。

（3）垂面法：

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

（4）射影面积法：

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosθ=S

空间距离

点面距可转化为三棱锥等体积求解

考点一、几何法求点面距

1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为．

【答案】

【分析】

解法一：根据等体积法，即，列出方程解出距离即可；解法二：通过面面垂直的性质定理得平面，最后计算长即可；解法三：建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面距离.

【详解】

解法一：设点到平面的距离为d．在中，，AB边上的高为，点A到平面的距离为，的面积为．

∵，∴，因此，

故点到平面的距离为．

解法二：如图所示，取AB的中点M，连接CM，，过点C作，垂足为D．

∵，M为AB的中点，∴．∵，M为AB的中点，∴．

∵，平面，∴平面，

又平面，故平面平面．

∵平面平面，，平面，∴平面．

因此CD的长度即为点C到平面的距离，也即点到平面的距离．

在中，，因此．

故点到平面的距离为．

解法三：如图所示，取BC的中点O，连接AO．∵，∴．

以O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴和y轴，过点O且与平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

从而，，．

设为平面的一个法向量，则即，

令，得，则．

故点到平面的距离为．

故答案为：.

2．（23-24高三上·河北·期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据棱锥的体积公式求得，再根据等体积转化法，确定的最大值，即可求得点到平面距离的最小值.

【详解】由题意得，

设点到平面的距离为，则由等体积转化法为，

当与重合时，最大，最大为，

此时最小，为.

故选：B.

3．（2024·辽宁丹东·一模）已知球的直径为，，为球面上的两点，点在上，且，平面，若是边长为的等边三角形，则球心到平面的距离为．

【答案】

【分析】根据球的截面性质，可得球的半径为，将球心到平面的距离转化为为到平面的距离的2倍，进而根据等体积变换可得.

【详解】因为，为球的直径，所以，

故球心到平面的距离即为到平面的距离的2倍，

如图

设球的半径为，由题意可知，

由，，可得，故

如图，

由题意平面，

则，

，且，

设到平面的距离为，则由可得，

，

得，得，

则球心到平面的距离为，

故答案为：

4．（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2BC＝2，则异面直线B1D1与CD的距离为；异面直线BD1与CD的距离为．

【答案】2

【详解】解析：（定义法）由正方体得DD1⊥平面A1B1C1D1，所以DD1⊥B1D1.又DD1⊥CD，所以DD1是异面直线B1D1与CD的公垂线段．又DD1＝2，所以异面直线B1D1与CD的距离为2；

（转化法）因为CD∥AB，CD?平面ABD1，AB?平面AB