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§2.3行列式按一行或一列
展开及行列式的计算一、余子式与代数余子式二、行列式按行〔列〕展开法那么三、小结1
例如一、余子式与代数余子式2
在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如3
4
引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如5
证当位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时6
得7
得8
9
中的余子式10
故得于是有11
定理行列式等于它的任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证二、行列式按行〔列〕展开法那么12
13
推论行列式任一行〔列〕的元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证14
同理相同15
关于代数余子式的重要性质16
定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质证明那么称为矩阵的伴随矩阵.17
故同理可得分块对角阵的行列式18
例1用降阶法计算19
20
例2计算行列式解21
22
例3计算解23
24
25
26
评注此题是利用行列式的性质将所给行列式的某行〔列〕化成只含有一个非零元素，然后按此行〔列〕展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止〔一般展开成二阶行列式〕．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．27
证用数学归纳法例4证明范德蒙德(Vandermonde)行列式28
29
n-1阶范德蒙德行列式30
注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。31
例5计算解32
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知33
评注此题所给行列式各行〔列〕都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质〔如提取公因子、调换各行〔列〕的次序等〕将此行列式化成范德蒙行列式．34
例6计算n阶三对角行列式解:将按第1行展开，得用递推法计算35
即36
同理：当时，可得当时，由(1)得37
例7计算解38
39
40
由此递推，得如此继续下去，可得41
42
评注43
求第一行各元素的代数余子式之和44
解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成爪型行列式45
用数学归纳法例9证明46
证对阶数n用数学归纳法47
48
评注49
1.行列式按行〔列〕展开法那么是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结50
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