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专题30与圆有关的位置关系

【专题目录】

技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法

技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型

技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法

【题型】一、判断点与圆的位置关系

【题型】二、三角形外接圆的相关计算

【题型】三、确定圆的条件

【题型】四、判断直线与圆的位置关系

【题型】五、利用切线的性质定理进行计算

【题型】六、切线性质与判定的综合

【题型】七、利用切线长定理进行计算

【题型】八、三角形内切圆的相关计算

【题型】九、圆内接四边形的相关计算

【题型】十、判断圆与圆的位置关系

【考纲要求】

1.了解直线和圆的位置关系，并会判断直线和圆的位置关系．

2.了解点和圆的位置关系，并会判断点和圆的位置关系．

3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质．

4.掌握三角形内切圆的性质.

【考点总结】一、点、线与圆的位置关系

1.如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:

（1）点在圆外⇔dr;

（2）点在圆上⇔d=r;

（3）点在圆内⇔dr.

2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交

位置

相离相切相交

关系

图形

公共点个数012

数量

drd=rdr

关系

3.切线的性质与判定

（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

*

4.切线长定理

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.

（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【技巧归纳】

技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法

类型一：点与圆的位置关系

方法1定义法

1．如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A

为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好3个在圆内，则r的取值范围为()

A．22r17B.17r32

C.17r5D．5r29

(第1题)

2．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD

的长为半径的圆，那么下列判断正确的是()

A．点B，C均在圆P外

B．点B在圆P外，点C在圆P内

C．点B在圆P内，点C在圆P外

D．点B，C均在圆P内

方法2比较法

3．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离OD＝3cm，在直线l上P，Q，R三点，且PD＝4cm，

QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？

类型二：直线与圆的位置关系

方法3交点个数法

4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是()

A．相切B．相交

C．相离D．无法确定

方法4距离比较法

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4cm，以点C为圆心，4cm为半径画⊙C，

试判断直线BD与⊙C的位置关系，并说明理由．

(第5题)

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共

点，求R的取值范围．

(第6题)

技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型

类型一：应用于求线段的长

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作

DF⊥AC，垂足为点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

2

(2)若AE＝4，cosA＝，求DF的长．