2025年春初中数学八年级下册北师版 1.4 第1课时 角平分线的性质 教案.docxVIP

1.4角平分线

第1课时角平分线

教学内容

第1课时角平分线

课时

1

核心素养目标

1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.

2.证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.

3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.

知识目标

1.会叙述角平分线的性质及判定；

2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

教学重点

会叙述角平分线的性质及判定.

教学难点

能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

教学准备

课件

教学过程

主要师生活动

设计意图

一、情境导入

二、探究新知

当堂练习，巩固所学

创设情境，导入新知

如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．

(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

师生活动：教师分析，

仓库到两所大学的距离相同读成数学语言：

到一条线段MN两个端点距离相等的点在哪？

预设1：在这条线段的垂直平分线上.

仓库到两条公路的距离相同读成数学语言：

到∠AOB两边的距离相等的点在哪？

学生独立思考.

小组合作，探究概念和性质

知识点一：角平分线的性质

合作探究：

在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗?

改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?

活动探究：教师引导学生通过折纸的活动，自主探究线段CD和CE的数量关系.

师追问：对此你能得出什么结论？动手证一证.

结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证：PD=PE.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，

∴∠PDO=∠PEO=90°.

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠1=∠2.

∵OP=OP，

∴△PDO≌△PEO(AAS).

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).

性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

应用所具备的条件：

(1)角的平分线；

(2)点在该平分线上；

(3)垂直距离.

定理的作用：证明线段相等.

应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).

师强调：推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.

典例精析

例1如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.

师生活动：学生独立思考，学生代表发言并阐述思路，教师给予适当评价.

知识点二：角平分线的判定

定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

师提问：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

预设1：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

师追问：它是真命题吗？你能证明吗？

已知：如图，点P为是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE.

求证：点P在∠AOB的平分线上.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，

∴∠ODP=∠OEP=90°.

∵PD=PE，OP=OP，

∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).

∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).

∴OP平分∠AOB.

师生活动：教师引导学生写出已知和求证，学生独立完成证明过程，教师进行定义总结：

角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

老师强调：角的内部指的是位置关系；距离相等指的数量关系.

定理的作用：判断点是否在角平分线上.

几何语言：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴点P在∠AOB的平分线上.

典例精析

例2如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.

师生活动：学生独立完成证明过程，学生代表板书：

例3如图，已知∠CBD和∠