2025年春初中数学八年级下册北师版 1.4 第1课时 角平分线的性质 导学案 .docxVIP

第一章三角形的证明

1.1等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

学习目标：

1.会叙述角平分线的性质及判定;

2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.

自主学习

自主学习

一、情境导入

如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

合作探究

合作探究

要点探究

知识点一：角平分线的性质

合作探究：

在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗?

改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证：PD=PE.

总结：

典例精析

例1如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.

知识点二：角平分线的判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

已知：如图，点P为是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE.

求证：点P在∠AOB的平分线上.

总结：

例2如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.

例3如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.

求证：点F在∠DAE的平分线上．

归纳总结：

二、课堂小结

当堂检测

当堂检测

1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=°，BE=.

题1题2

2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是.

3.(西安期中)如图，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，若∠BAC=62°，∠PAC等于_______°.

参考答案

在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗?

改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?

结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证：PD=PE.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，

∴∠PDO=∠PEO=90°.

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠1=∠2.

∵OP=OP，

∴△PDO≌△PEO(AAS).

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).

性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

应用所具备的条件：

(1)角的平分线；

(2)点在该平分线上；

(3)垂直距离.

定理的作用：证明线段相等.

应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).

典例精析

例1如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=__4____cm.

知识点二：角平分线的判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

预设1：

已知：如图，点P为是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE.

求证：点P在∠AOB的平分线上.

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，

∴∠ODP=∠OEP=90°.

∵PD=PE，OP=OP，

∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).

∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).

∴OP平分∠AOB.

角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

几何语言：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴点P在∠