专题04 基本不等式求最值（5大压轴考法）（学生版） 2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）.pdf

专题04基本不等式求最值

目

解题知识必备

压轴题型讲练2

题型一、条件等式求最值2

题型二、常数代换法2

题型三、消参法3

题型四、双换元法4

题型五、二次（一次）商式的最值5

压轴能力测评（13题）8

一、重要不等式

a,bÎR，有a2+b2³2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

二、基本不等式

a+b

如果a0，b0，则ab£，当且仅当a=b时，等号成立.

2

a+b

aa

叫做正数，的算术平均数，ab叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算

bb

2

术平均数不小于它们的几何平均数.

三、与基本不等式相关的不等式

2

æa+bö

（1）当a,bÎR时，有ab£ç÷，当且仅当a=b时，等号成立.

è2ø

2

（2）当a0，b0时，有£ab，当且仅当a=b时，等号成立.

11

+

ab

222

æa+böa+b

（3）当a,bÎR时，有ç÷£，当且仅当a=b时，等号成立.

è2ø2

四、利用基本不等式求最值

已知x0，y0，那么

（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；

12

（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S.

4

五、利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为

，再用基本不等式求最值.

(4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常

数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

六、常见求最值模型

nn

模型一：mx+³2mn(m0,n0)，当且仅当x=时等号成立；

xm

nn