湖南省宁远县第一中学2025届高三下学期新年第一考数学试题.docxVIP

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湖南省宁远县第一中学2025届高三下学期新年第一考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．若，则（????）

A． B． C．1 D．2

3．已知，，，若，则（????）

A． B． C．5 D．6

4．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（?????）

A．充分不必要条件 B．充分必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为

A． B． C． D．

6．在中内角所对边分别为，若，则（????）

A． B． C． D．

7．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（????）

A． B．

C． D．

8．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（????）

A． B． C． D．

10．已知函数及其导函数，且，若，则（????）

A． B．

C． D．

11．“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数经过次角谷运算后首次得到1（若经过有限次角谷运算均无法得到1，则记，以下说法正确的是（????）

A．可看作一个定义域和值域均为的函数

B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值

C．对任意正整数，都有

D．是真命题，是假命题

三、填空题

12．的展开式中，各项系数中的最大值为．

13．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.

14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是.

四、解答题

15．在中，角所对的边分别记为，且.

(1)证明：；

(2)若，求的取值范围.

16．已知函数.

(1)若，求在处的切线方程；

(2)讨论的零点个数.

17．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．

(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．

(2)假设，

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19．设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点

(1)求抛物线的方程；

(2)求的重心的轨迹方程；

(3)证明：.

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《湖南省宁远县第一中学2025届高三下学期新年第一考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

C

B

D

C

C

D

ACD

AC

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】分析可得，由此可得出结论.

【详解】任取，则，其中，所以，，故，

因此，.

故选：C.

2．D

【分析】利用复数的除法可求，从而可求.

【详解】由题设有，故，故，

故选：D

3．C

【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示列式计算即得.

【详解】向量，，，

由，得，即，

因此，