2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高一（下）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高一（下）期中数学试卷

一、填空题共15小题，其中1-10题，每小题4分，11-15题，每小题4分，共65分，把答案填在答题卡相应位置上．

1．复数z=i1+i在复平面内对应的点的坐标为

2．已知平面向量a→=(2，x)与b→=(y，2)共线，则

3．设z为复数，且z-2z+2=i（i为虚数单位），则z＝

4．已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，OA→=(3，1)，将OA→绕O点逆时针旋转π6弧度得到OB

5．若函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的部分图像如图所示，f(π3)=-1

6．已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若AC→=a→，BD→=b→，则AD→=，

7．已知非零向量a→，b→，c→满足：a→?b→=0，|a→

8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，过体对角线BD1的平面分别交棱AA1，CC1于F，E（如图所示），则四边形D1FBE面积的最小值为．

9．已知平面向量a→=(1，2)，b→=(-2，-4)，c→=(x，y)满足

10．设常数a使方程sinx+3cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个不同的解x1，x2，x3，则实数a的取值为

11．写出一组使得不等式tanαtanβ＞tan（α+β）成立的α，β，其中α＝，β＝．

12．若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间[-π2，π2]上为单调函数，且图象关于直线x=2π3对称，则函数f

13．从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为．

14．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形，如图1，在一个棱长为2r的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖（如图2），我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究，推导出了球体体积公式．设平行于水平面且与水平面距离为h（0＜h＜r）的平面为α，则平面α截牟合方盖所得截面的形状为（填“正方形”或“圆形”），设半径为r的球体体积为V1，图2所示牟合方盖体积为V2，则V1V2=

15．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1→，a2→，a3→，a4→，a5→，以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1→，d2→，d3→，d4→，d5→．记{i，j，k}，{r，s，t}为{1，2，

二、解答题。共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（10分）已知三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b2﹣c2﹣a2＞0．

（Ⅰ）求证：角B为钝角；

（Ⅱ）若sinC=22，c=2

17．（15分）设函数f(x)=sinxcosx+3

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）在[0，m]（m＞0）上的值域为[-

①若n=12，求

②若n＝1，求m的取值范围．（①②两问直接写出答案）

18．（15分）已知复数z1＝cosθ﹣i，z2＝sinθ+i，其中θ∈R．

（Ⅰ）求z1

（Ⅱ）求|z1z2|的最大值并说明取得最大值时θ的取值集合．

19．（15分）已知实数x，y满足方程2x2﹣y2＝2．

（Ⅰ）求yx+1

（Ⅱ）设x=x1y=y1与x=x2y=y2是方程组2x2-y2=2x0x+yy0=2两组不同的解，其中

20．（15分）已知f（x）＝acosx+bcos2x+1，其中a，b∈R．

（Ⅰ）当a=43，

①任意写出f（x）的一条对称轴；

②求证：f（x）≥0；

（Ⅱ）若对任意x∈R，f（x）≥0，求a+b所能取到的最小值和最大值，并说明理由．

21．（15分）已知G为实数集的一个非空子集，称（G，+）是一个加法群，如果G连同其上的加法运算满足如下四条性质：

①?a，b∈G，a+b∈G；

②?a，b，c∈G，（a+b）+c＝a+（b+c）；

③?θ∈G，?a∈G，使得a+θ＝θ+a＝a；

④?a∈G，?b∈G，使得a+b＝b+a＝θ．

例如（Z，+）是一个无限元加法群，（{0}，+）是一个单元素加法群．

（Ⅰ）令A＝{2k|k∈Z}，B＝{2k+1|k∈Z}，分别判断（A，+），（B，+）是否为加法群，并说明理由；

（Ⅱ）已知非空集合T?R，并且?x，y∈T，有x﹣y∈T，求证：（T，+）是一个加法群；

（Ⅲ）已知非空集合S?Z，并且?x，y∈S，有x﹣y∈S，求证：存在d∈Z，使得S＝{da|a∈Z}．