2025年春初中数学八年级下册北师版 1.1 第2课时 等边三角形的性质 导学案 .docxVIP

第一章三角形的证明

1.1等腰三角形

第2课时等边三角形的性质

学习目标：

1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质；

2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.

自主学习

自主学习

一、情境导入

思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？

合作探究

合作探究

要点探究

知识点一：等腰三角形的重要线段的性质

在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?

猜想：

例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等．

已知：

求证：

例2证明：等腰三角形两腰上的中线相等．

已知：

求证：

例3证明：等腰三角形两腰上的高相等．

已知：

求证：

议一议：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点DE分别在边AC和AB上.

如果∠ABD=eq\f(1,3)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,3)∠ACB，那么BD=CE吗？

如果∠ABD=eq\f(1,4)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,4)∠ACB呢？

(3)如果∠ABD=eq\f(1,n)∠ABC，∠ACE=eq\f(1,n)∠ACB，那么BD=CE吗?

由此你能得到一个什么结论?

结论：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点DE分别在边AC和AB上.

如果AD=eq\f(1,3)AC，AE=eq\f(1,3)AB，那么BD=CE吗？为什么？

(2)如果AD=eq\f(1,4)AC，AE=eq\f(1,4)AB，那么BD=CE吗？为什么？

(3)如果AD=eq\f(1,n)AC，AE=eq\f(1,n)AB，那么BD=CE吗？为什么？

由此你能得到一个什么结论?

结论：

知识点二：等边三角形的性质

想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？

提问1：怎样证明这一定理呢？

已知：

求证：

典例精析

例4如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数.

二、课堂小结

当堂检测

当堂检测

如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，若△ABC的周长为18cm，EC=2cm，则△ADE的周长是cm.

2.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.

3.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.

变式：如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB的大小吗？

参考答案

小组合作，探究概念和性质

在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?

猜想1：底角的两条平分线相等

猜想2：两条腰上的中线相等

猜想3：两条腰上的高线相等

例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等．

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是角平分线．

求证：BD=CE.

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB

(等边对等角).

又∵∠1=eq\f(1,2)∠ABC，∠2=eq\f(1,2)∠ACB(已知)，

∴∠1=∠2(等式性质)．

在△BDC与△CEB中，

∵∠DCB=∠EBC，BC=CB，∠1=∠2，

∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．

例2证明：等腰三角形两腰上的中线相等．

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BM，CN两腰上的中线．

求证：BM=CN．

证明：∵AB=AC(已知)，

∴∠ABC=∠ACB.

又∵CM=eq\f(1,2)AC，BN=eq\f(1,2)AB，

∴CM=BN.

在△BMC与△CNB中，

∵BC=CB，∠MCB=∠NBC，CM=BN，

∴△BMC≌△CNB(SAS)．

∴BM=CN.

例3证明：等腰三角形两腰上的高相等．

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．

求证：BP=CQ．

证明：∵AB=AC(已知)，

∴∠QBC=∠PCB.

在△BQC与△CPB中，

∵∠BQC=∠CPB，∠QBC