2025年春初中数学八年级下册北师版 1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 导学案 .docxVIP

第一章三角形的证明

1.1等腰三角形

第3课时等腰三角形的判定与反证法

学习目标：

1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；

2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；

自主学习

自主学习

一、情境导入

如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？

复习回答：

问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？

合作探究

合作探究

要点探究

知识点一：等腰三角形的判定

前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?

建立数学模型：

如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?

等腰三角形的判定定理：

应用格式：

辨一辨：如图，下列推理正确吗?

∵∠1=∠2，

∴BD=DC(等角对等边).

∵∠1=∠2，

∴DC=BC(等角对等边).

典例精析

例1已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.

求证：△AED是等腰三角形.

知识点二：反证法

想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

总结：

例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.

已知：△ABC．

求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．

二、课堂小结

当堂检测

当堂检测

1.已知：如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，

①∠1=°，∠2=°；

②图中有个等腰三角形；

③若AD=4cm，则BC=cm；

④若过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有个等腰三角形.

2.已知：等腰三角形ABC的底角平分线BD，CE相交于点O.

求证：△OBC为等腰三角形.

3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.

已知：直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P.

求证：l3与l2相交.

证明：假设______________，那么.

因为已知，

所以过直线l2外一点P，有两条直线和l2平行，

这与“_________________________________________”矛盾.

所以___________，即求证的命题正确.

参考答案

建立数学模型：

如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?

证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.

在△ABD与△ACD中，

∴△ABD≌△ACD(AAS).

∴AB=AC.

等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形.

(简称“等角对等边”).

应用格式：

在△ABC中，∵∠B=∠C，

∴AB=AC(等角对等边).

辨一辨：如图，下列推理正确吗?

∵∠1=∠2，

∴BD=DC(等角对等边).

∵∠1=∠2，

∴DC=BC(等角对等边).

错，因为都不是在同一个三角形中.

典例精析

例1已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.

求证：△AED是等腰三角形.

证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，

∴△ABD≌△DCA(SSS).

∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).

∴AE=DE(等角对等边).

∴△AED是等腰三角形.

知识点二：反证法

想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

在△ABC中，如果∠B≠∠C，

那么AB≠AC.

小明是这样想的：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，

此时，AB与AC要么相等，要么不相等.

假设AB=AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C，但已知条件是∠B≠∠C.

“∠B=∠C”与“