5.3.2.1函数的极值-【知二教育】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第二册).pptxVIP

五、一元函数的导数及其应用

5.3导数在研究函数中的应用

5.3.2函数的极值

课程标准

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；

2.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定的闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系

复习回顾

回顾1如何判断函数的单调性?

(1)图象

(2)定义法

(3)求导

函数的单调性与其导函数正负的关系

在某个区间(a,b)上

(1)如果f(x)0,那么函数y=f(x)1(2)如果f(x)0,那么函数y=f(x)1(3)如果在区间(a,b)上恒有f(x)=0,(a,b)上是常数函数.

1.定义域

2.求导

3.零点

4.列表

5.(单调性)图象

回顾2如何用导数的方法判断函数的单调性?

那么函数y=f(x)在区间

复习回顾

新课导入

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.

如果函数在某些点的导数为0,那么在这些点处函数有什么性质呢?

教学目标

难点重点

过理解函数的极值及其应用导数的求解过

程，发展学生的直观想象与数学运算素养

借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

一二三

教学目标

能利用导数求某些小

易错点

极小值

新知探究

探究一：借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

高台跳水运动员距水面的高度最大.

那么,函数h(t)在此点的导数是多少呢?

此点附近的图象有什么特点?

相应地，导数的正负性有什么变化规律?

新知讲解

观察左图，我们发现，当t=a时，

h

单调递增h(t)0

h(a)=0

单调递减

h(t)0

0bt

在t=α附近，当ta时，函数h(t)单调递增，h(t)

当ta时，函数h(t)单调递减，h(t).

这就是说，在t=a附近，函数值先增(当ta时，h(t))后减(当ta时，h(t)).

这样，当t在a的附近从小到大经过α时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)=.

追问1:对于一般的函数y=f(x),是否也有同样的性质呢?(是否具有一般性?)

放大t=a附近函数的图象

可以看出，h(a)=;

新知讲解

单调递增h(t)0

单调递减

h(t)0

问题2如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附

近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近

y=f(x)的导数的正负性有什么规律?

提示：观察图象的单调性

新知讲解

以x=a,b两点为例，可以发现，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.

类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的

函数值都大，f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.

新知讲解

我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

概念生成

X

(-0,-2)

-2

(-2,2)

2

-2

o

f(x)

十

0

一

0

十

f(x)

单调递增

28

单调递减

单调递增

例5.求函的极值.

所以f(x)=x²-4=(x-2)(x+2)

令f(x)=0,解得x=2或x=-2

例题讲解

3

新知讲解

问题3极大值一定大于极小值吗?

问题4导数值为0的点一定是函数的极值点吗?

请大家以小组形式进行探究，利用图象进行分析，将问题的答案进行描述与理解。

比如图中，x₁,x₃,x₅都是函数y=f(x)的极大值点，

是函数y=f(x)的极小值点.从图中可以看出，函数的极大值可能比极小值小，如f(x₁)f(x₄).

新知讲解

新知讲解

导数值为0的点不一定是函数的极值点.

例如，对于函