5.3诱导公式（第1课时）-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册).pptxVIP

5.3诱导公式

第1课时诱导公式二、三、四

sin(α+k·2π)=sinα,

cos(α+k·2π)=sina,

tan(α+k·2π)=sinα,

其中k∈Z.

前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的

最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，

可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.

公式一

活动1:作P1关于原点的对称点P₂,以OP₂为终边的角β与角α有什么关系?角β

与角α的三角函数值之间有什么关系?

下面，借助单位圆的对称性进行探究.

如图，以OP₂为终边的角β都是与角π+α终边相同

的角，即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).因此，只要探

究角π+α与α的三角函数值之间的关系即可.

如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1.

设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).因为P₂是点P₁关于原点的对称点，

所以x2=-X1,y2=-y1·

根据三角函数的定义，得：β=π+a

sinα=y₁,cosα=X₁,

sin(π+α)=y₂,cos(π+α)=X₂,

从而得：

sin(π+α)=-sin

cos(π+α)=-cos

tan(π+α)=tan

a,

α,

α.

P₁(x₁,y₁)

X

公式

二

P₂(x₂,y₂)

)α0

个y

根据三角函数的定义，得：

sinα=y₁,cosα=X₁,

sin(-a)=y3,cos(-a)=x₃

从而得：

-α的三角函数值之间有什么关系?

此时，我们易得：P₁(x₁,y₁),P₃(x₃,y₃)=(x₁,-1).

活动2:作P1关于x轴的对称点P3,则以OP₃为终边的角为-α,此时角α与角

sin(-α)=-sin

cos(-α)=costan(-α)=-tan

α,

α,

a.

公式三

π-α的三角函数值之间有什么关系?

此时，我们易得：P₁(x₁,y₁),P4(x₄,y4)=(-x₁,y₁).根据三角函数的定义，得：

sinα=y₁,cosα=X₁,

sin(π-a)=y⁴,cos(π-a)=x

从而得：

公式sin(π-α)=sina,

四cos(π-α)=-cosα,

tan(π-α)=-tana.

活动3:作P₁关于y轴的对称点P₄,则以OP₄为终边的角为π-α,此时角α与角

辨析1.判断正误：

(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.()

(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角.()

(3)由公式三知cos[-(α-β)]=-cos(a-β).()

答案：√,×,×.

则sinα等于().

B.C.3D.-3

答案：B.

A

(4)tan(-2040°)=-an2040°=-an(6×360°-120)=tan120°=

tan(180°-60°)=-an60°=-√3.

;(3));(4)tan(-2040°).

例析

例1.利用公式求下列三角函数值：

(1)cos225°;(2)

例1.(1)cos225°;(2);(3);(4)tan(-2040°).

由例1,你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识?你能自己归纳一下任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?

利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可

任意正角的

三角函数

用公式一

0~2π的角

的三角函数

任意负角的三角函数

锐角的三角函数

用公式

三或一

用公式二或四

按下面的步骤进行：

数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而

困难的问题.数学家制作了锐角三角函数表，

并通过公式一~四，按上述步骤解决了问题。现在，我们可以利用计算工具求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要作用.