数学归纳法课件课件-+2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

1.5数学归纳法第一章数列北师大版（2019）选择性必修第二册

学习目标掌握数学归纳法的基本思想与数学归纳法的基本步骤能够利用数学归纳法证明常见的几种题型0102

情境引入在多米诺骨牌游戏中，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.只要推倒第1块骨牌，就必然导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就必然导致第3块骨牌倒下…….最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.

知识回顾在数列的学习过程中，我们得到过一些公式：等差数列的通项公式等差数列的求和公式等比数列的求和公式??等比数列的通项公式???本节我们就来介绍一种重要的证明方法:数学归纳法

抽象概括数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．特别地，当n0＝1时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立．

思考交流数学归纳法为什么能保证命题对所有的正整数都成立？根据（1），证明了当n＝1时命题成立；根据（2），当n＝1＋1＝2时命题成立.由于n＝2时命题成立，再根据（2）可知，当n＝2＋1＝3时命题也成立.这样递推下去，就可以知道当n＝4，5，···时命题也成立.下面以n0＝1时的情况加以说明.即命题对任意正整数n都成立.

思考交流数学归纳法中的两个步骤都必要吗？解答：第一步是命题递推的基础，确定了n＝n0时命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水．就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒．我们把第一步称为是归纳奠基．而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k块骨牌倒下，那么要保证第k＋1块骨牌也能倒下，

思考交流数学归纳法中的两个步骤都必要吗？再加之k的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性．类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数n0开始，向后一个数接一个数地无限传递到n0以后的每一个正整数，从而完成证明．所以，我们把第二步称为是归纳递推．“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可．只有把两步的结论结合起来，才能断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

思考交流数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？如果我们记P(n)是一个关于正整数n的命题．第一步验证了当n＝n0时结论成立，第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)（k∈N*，k≥n0）为真，完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……．结论就是P(n)为真，从而完成证明．即P(n0)为真．则P(k＋1)也为真．需要注意的是，第二步实际上就是从P(k)推出P(k＋1)：P(k)→P(k＋1)．

例1用数学归纳法证明：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为例题分析??证明：（1）当n＝1时，左边＝S1＝a1，右边＝，等式成立；?（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立.?????所以，n＝k＋1时等式也成立.由(1)和(2)可知，等式对任意正整数n都成立.

例题分析例2已知数列{an}满足，a1＝0，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.?解：由，a1=0，得归纳上述结果，可得猜想.

例题分析例2已知数列{an}满足，a1＝0，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.?用数学归纳法证明这个猜想：这就是说，当n＝k＋1时等式也成立.（1）当n＝1时，左边＝a1＝0，右边＝，等式成立；?（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即成立.那么，当n＝k＋1时，??根据（1）和（2），可知猜想对于任意正整数n都成立.?

抽象概括归纳和数学归纳法的区别