随机事件和概率.ppt

例题9：巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求:(1)他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？(2)第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？解(1)不妨设甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是1/2,一共取(2n-r+1)次，其中前面的（2n-r)次中有n次从甲盒中取，最后第（2n-r+1)次从甲盒取，否则不知其为空，其概率为同理，若甲盒有r根而乙盒为空，其概率为第31页，共78页，星期日，2025年，2月5日所求的概率为另解：可以看成（2n-r+1)球随机放到2个盒子里，前（2n-r)个球中有n个球放入一盒，剩下r球全放入另一盒,最后一个球放入装有n个球的盒子里。第32页，共78页，星期日，2025年，2月5日(2)不妨设甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是1/2,一共取(2n-r)次，其中前面的（2n-r-1)次中有（n-1）次从甲盒中取，最后第（2n-r)次从甲盒取。其概率为同理，若甲盒有r根而乙盒为空，其概率为第33页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题10：包括a和b二人在内共n个人排队，问a,b间恰有r个人的概率？解：事件A=“a,b间恰有r个人”,先考虑a,b的位置，若a在前面b在后面，则a有[n-(r+1)]个站法，同理，若b在前面a在后面，则b有[n-(r+1)]个站法，剩下的位置有（n-2)!站法总的样本点为n!第34页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题:n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.解：（1）先不排乙，n-1人围绕圆桌而坐。（2）圆环排列：n个不同的元素圆环排列，共有(n-1)!不同排法第35页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题：将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.解掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为第36页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题：掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.解设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A）=P（B）（1）当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1，得P（A）=P（B）=0.5(2)当n为偶数时，由上题知或第37页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题11：将编号为1,2,3的三本书随意地排到书架上，则至少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同的概率为多少？解：设Ai=“第i本书排到第i个位置上”，i=1,2,3B=“至少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同”第38页，共78页，星期日，2025年，2月5日第39页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题：一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率解“每一节车厢内至少有一个旅客”，其对立事件为“至少有一节车厢是空的”。设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则第40页，共78页，星期日，2025年，2月5日所求的概率为：第41页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题12：已知40件产品中有3件次品，现从中随意取出两件产品，求：(1)第一次取到次品的概率p1;第二次取到次品的概率p2;第二次才取到次品的概率p3;(2)取出两件产品至少有件是次品的概率p4;(3)取出两件产品中至少有一件是次品，那么另一件也是次品的概率p5;(4)已知取出的两件产品中第一件是次品，那么第二件也是次品的概率p6;第42页，共78页，星期日，2025年，2月5日解：Ai=“第i次取到次品”，i=1,2第43页，共78页，星期日，2025年，2月5日P{取出两件产品中有一件是次品，另一件也是次品}第44页，共78页，星期日，2025年，2月5日第45页，共78页，星期日，2025年，2月5日例题13：为了防止意外，在矿内同时设有甲、乙两种报警系统，每种系统单独使用时，甲、乙有效的概